Bài tập nâng cao · Bài 49
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 49
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;0;0),M\left ( { \frac { 1 } { 2 };1;1 } \right )$. Mặt phẳng $(P)$ thay đổi qua $AM$ cắt các tia $Oy;Oz$ lần lượt tại $B,C$. Khi mặt phẳng $(P)$ thay đổi thì diện tích tam giác $ABC$ đạt giá trị nhỏ nhất bao nhiêu?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $b,c>0$.
Phương trình mặt phẳng $(P):\frac { x } { 2 }+\frac { y } { b }+\frac { z } { c }=1$ và $M\left ( { \frac { 1 } { 2 };1;1 } \right )\in (P)\Rightarrow \frac { 1 } { b }+\frac { 1 } { c }=\frac { 3 } { 4 }\Rightarrow bc=\frac { 4 } { 3 }(b+c)$.
Ta có: $\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=(-2;b;0) \\ \overrightarrow{AC}=(-2;0;c) \\ \end{array} \Rightarrow S_{ ABC } =\frac { 1 } { 2 }\|[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}]\|=\frac { 1 } { 2 }\sqrt { b ^ { 2 } c ^ { 2 } +4b ^ { 2 } +4c ^ { 2 } } \end{array} \right.$.
Suy ra $S_{ ABC } \geq \frac { 1 } { 2 }\sqrt { \frac { 16 } { 9 }(b+c) ^ { 2 } +4\frac { (b+c) ^ { 2 } } { 2 } }=\frac { \sqrt { 34 } } { 6 }(b+c)$.
Áp dụng cauchy schwarz, ta có: $\frac { 1 } { b }+\frac { 1 } { c }\geq \frac { (1+1) ^ { 2 } } { b+c }\Leftrightarrow \frac { 3 } { 4 }\geq \frac { 4 } { b+c }\Rightarrow b+c\geq \frac { 16 } { 3 }$.
Từ đó suy ra diện tích tam giác $ABC$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac { \sqrt { 34 } } { 6 }\cdot \frac { 16 } { 3 }=\frac { 8\sqrt { 34 } } { 9 }$ khi $b=c=\frac { 8 } { 3 }$.
Phương trình mặt phẳng $(P):\frac { x } { 2 }+\frac { y } { b }+\frac { z } { c }=1$ và $M\left ( { \frac { 1 } { 2 };1;1 } \right )\in (P)\Rightarrow \frac { 1 } { b }+\frac { 1 } { c }=\frac { 3 } { 4 }\Rightarrow bc=\frac { 4 } { 3 }(b+c)$.
Ta có: $\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=(-2;b;0) \\ \overrightarrow{AC}=(-2;0;c) \\ \end{array} \Rightarrow S_{ ABC } =\frac { 1 } { 2 }\|[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}]\|=\frac { 1 } { 2 }\sqrt { b ^ { 2 } c ^ { 2 } +4b ^ { 2 } +4c ^ { 2 } } \end{array} \right.$.
Suy ra $S_{ ABC } \geq \frac { 1 } { 2 }\sqrt { \frac { 16 } { 9 }(b+c) ^ { 2 } +4\frac { (b+c) ^ { 2 } } { 2 } }=\frac { \sqrt { 34 } } { 6 }(b+c)$.
Áp dụng cauchy schwarz, ta có: $\frac { 1 } { b }+\frac { 1 } { c }\geq \frac { (1+1) ^ { 2 } } { b+c }\Leftrightarrow \frac { 3 } { 4 }\geq \frac { 4 } { b+c }\Rightarrow b+c\geq \frac { 16 } { 3 }$.
Từ đó suy ra diện tích tam giác $ABC$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac { \sqrt { 34 } } { 6 }\cdot \frac { 16 } { 3 }=\frac { 8\sqrt { 34 } } { 9 }$ khi $b=c=\frac { 8 } { 3 }$.