Bài tập nâng cao · Bài 50
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 50
Trong không gian $Oxyz$, xét khối chóp $K\cdot ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông diện tích lớn hơn 1. $KA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và góc tạo bởi $KB$ với mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45 ^ { ° }$. Biết rằng $A(0;1;1)$ còn ba điểm $K,B,D$ cùng thuộc mặt cầu $(S):x ^ { 2 } +(y-1) ^ { 2 } +(z+1) ^ { 2 } =3$. Thể tích khối chóp $K\cdot ABCD$ là
Xem lời giải
Lời giải
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;1;-1)$, bán kính $R=\sqrt { 3 }$.
Ta có: $( \widehat { KB:(ABCD) })= \widehat { KBA }=45 ^ { ° } \Rightarrow AK=AB=AD$ và $IK=IB=ID$.
Từ đó suy ra $AI$ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $KBD$.
Gọi $G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta KBD$ và đặt $AB=x>1$.
Ta có $BD=x\sqrt { 2 },KG=\frac { x\sqrt { 6 } } { 3 },AG=\frac { AK\cdot AO } { \sqrt { AK ^ { 2 } +AO ^ { 2 } } }=\frac { x\sqrt { 3 } } { 3 }$ và $IG=\sqrt { R ^ { 2 } -KG ^ { 2 } }=\frac { \sqrt { 27-x ^ { 2 } } } { 3 }$.
Ta lại có: $AG+GI=AI\Rightarrow \frac { x\sqrt { 3 } } { 3 }+\frac { \sqrt { 27-x ^ { 2 } } } { 3 }=2\Rightarrow x=\sqrt { 3 }>1$.
Vậy thể tích khối chóp $K.ABCD$ là $V=\frac { 1 } { 3 }KA\cdot S_{ ABCD } =\sqrt { 3 }$.