Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A$ thuộc mặt cầu $\left ( { S_{ 1 } } \right ):x ^ { 2 } +(y-2) ^ { 2 } +(z-5) ^ { 2 } =1$ và điểm $B$ thuộc mặt cầu $\left ( { S_{ 2 } } \right ):(x-4) ^ { 2 } +(y-3) ^ { 2 } +(z-6) ^ { 2 } =9$. Điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng $(P):x+2y-2z+15=0$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=MA+MB$?
Xem lời giải
Lời giải
Đầu tiên ta có mặt cầu $\left ( { S_{ 1 } } \right )$ tâm $I_{ 1 } (0;2;5)$, bán kính $R_{ 1 } =1$ và mặt cầu $\left ( { S_{ 2 } } \right )$ tâm $I_{ 2 } (4;3;-6)$, bán kính $R_{ 2 } =3$. Nhận thấy $I_{ 1 } I_{ 2 } >R_{ 1 } +R_{ 2 }$ nên ta suy ra $\left ( { S_{ 1 } } \right )$ và $\left ( { S_{ 2 } } \right )$ không cắt nhau.
Tiếp đến ta nhận thấy $d\left ( { I_{ 1 } ;(P) } \right )=3>R_{ 1 } \lor d\left ( { I_{ 2 } ;(P) } \right )=\frac { 37 } { 3 }>R_{ 2 }$ nên suy ra $(P)$ không cắt cả hai mặt cầu và hai tâm của mặt cầu cùng phía với mặt phẳng $(P)$. Từ đó ta có hình vẽ như sau:
Gọi $\left ( { S_{ 3 } } \right )$ là mặt cầu tâm $I_{ 3 } (-2;-2;9)$ đối xứng với $\left ( { S_{ 1 } } \right )$ qua $(P)$ và $A'$ đối xứng với $A$ qua $(P)$, khi đó ta dễ dàng suy ra $T=MA+MB=MA'+MB\geq A'B=I_{ 2 } I_{ 3 } -\left ( { R_{ 1 } +R_{ 2 } } \right )$ với $A'\in \left ( { S_{ 3 } } \right )$.
Trước hết ta có: $\overset\rightarrow { I_{ 1 } I_{ 2 } }=(4;1;-11)$ và $\overset\rightarrow { I_{ 1 } I_{ 3 } }=(-2;-4;4)$. Khi đó suy ra $\cos \widehat { I_{ 2 } I_{ 1 } I_{ 3 } }=-\frac { 28 } { 3\sqrt { 138 } }$
Do $\widehat { I_{ 2 } I_{ 1 } I_{ 3 } }>90 ^ { ° }$ nên theo định lí Cosin ta suy ra được:
$I_{ 2 } I_{ 3 } =\sqrt { I_{ 1 } I_{ 2 } ^ { 2 } +I_{ 1 } I_{ 3 } ^ { 2 } -2I_{ 1 } I_{ 2 } \cdot I_{ 1 } I_{ 3 } \cos \widehat { I_{ 3 } I_{ 1 } I_{ 2 } } }=\sqrt { (\sqrt { 138 }) ^ { 2 } +6 ^ { 2 } -2\cdot 6\cdot \sqrt { 138 }\cdot \left ( { -\frac { 28 } { 3\sqrt { 138 } } } \right ) }=\sqrt { 510 }.$
Từ đó kết luận $d_{ min } =I_{ 2 } I_{ 3 } -\left ( { R_{ 1 } +R_{ 2 } } \right )=\sqrt { 510 }-(3+1)\in (10;11)$.
