Bài tập nâng cao · Bài 52
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 52
Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =4$ và $\left ( { S ^ { ' } } \right ):(x-8) ^ { 2 } +(y-8) ^ { 2 } +z ^ { 2 } =64$ cùng với điểm $D(0;0;-8).$ $DM$ là tiếp tuyến thay đổi mặt cầu $\left ( { S ^ { ' } } \right )$ (với $M$ là tiếp điểm). Gọi $A,B,C$ lần lượt là các điểm phân biệt thay đổi trên mặt cầu $(S)$ sao cho thỏa mãn $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{BO}=\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{CO}=0$. Khi phương trình mặt phẳng $(ABC)$ có dạng $ax+2y+cz+d=0$ thì khoảng cách từ $N(0;0;1)$ đến $(ABC)$ đạt giá trị lớn nhất. Tổng $a+2c+d$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $M\left ( { a_{ 1 } ;b_{ 1 } ;c_{ 1 } } \right )$ sao cho thỏa hệ phương trình sau: $\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \left ( { a_{ 1 } -8 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { b_{ 1 } -8 } \right ) ^ { 2 } +c_{ 1 } ^{ 2 }=64 \\ a_{ 1 } +b_{ 1 } +c_{ 1 } =8 \\ \end{array} \end{array} \right.$.
Thông qua bất đẳng thức.
B. C. S, ta có được: $64=\left ( { a_{ 1 } -8 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { b_{ 1 } -8 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 8-a_{ 1 } -b_{ 1 } } \right ) ^ { 2 } \geq \frac { \left ( { a_{ 1 } +b_{ 1 } -16 } \right ) ^ { 2 } } { 2 }+\left ( { 8-a_{ 1 } -b_{ 1 } } \right ) ^ { 2 } \Leftrightarrow \frac { 4 } { 3 }\leq a_{ 1 } +b_{ 1 } -4\leq 12$
Tiếp đến ta có mặt phẳng $(ABC)$ nhận $\overrightarrow{OM}=\left ( { a_{ 1 } ;b_{ 1 } ;c_{ 1 } } \right )$ làm vector pháp tuyến nên suy ra:
$(ABC):a_{ 1 } x+b_{ 1 } y+c_{ 1 } z+D=0$ tức $d ^ { 2 } (N;(ABC))=P=\frac { \left ( { c_{ 1 } +D } \right ) ^ { 2 } } { a_{ 1 } ^{ 2 }+b_{ 1 } ^{ 2 }+c_{ 1 } ^{ 2 } }=\frac { \left ( { D+8-a_{ 1 } -b_{ 1 } } \right ) ^ { 2 } } { a_{ 1 } ^{ 2 }+b_{ 1 } ^{ 2 }+64-\left ( { a_{ 1 } -8 } \right ) ^ { 2 } -\left ( { b_{ 1 } -8 } \right ) ^ { 2 } }$
$\Rightarrow d ^ { 2 } (N;(ABC))=\frac { \left ( { a_{ 1 } +b_{ 1 } -8-D } \right ) ^ { 2 } } { 16\left ( { a_{ 1 } +b_{ 1 } -4 } \right ) }$.
Đến đây ta cần xử lí thêm ẩn $D$ thông qua $d(O;(ABC))$.
Từ phương trình đề cho $ax+2y+cz+d=0$ ta suy ra: $b_{ 1 } =2\|k\|\leq 8\Leftrightarrow -4\leq k\leq 4$ tức $-4\leq D\leq 4$ (tỉ lệ không đổi)
Suy ra: $d^2(N;(ABC))=\frac{(a_1+b_1-8-D)^2}{16(a_1+b_1-4)}\leq\frac{(a_1+b_1-8+4)^2}{16(a_1+b_1-4)}=\frac{a_1+b_1-4}{16}\leq\frac{3}{4}\quad\forall a_1+b_1-4\in\left[\frac{4}{3};12\right]$
Khi ấy $d(N;(ABC))_{ max } =\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ với dấu bằng xảy ra khi $\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} D=-4;a_{ 1 } +b_{ 1 } =8 \\ a_{ 1 } +b_{ 1 } +c_{ 1 } =8 \\ \end{array} \end{array} \right.$ tức $M\equiv M_{ 2 } (8;8;-8)$
Khi đó ta suy ra $(ABC):8x+8y-8z-4=0\Leftrightarrow (ABC):2x+2y-2z-1=0$ tức $a+2c+d=-3$.
Thông qua bất đẳng thức.
B. C. S, ta có được: $64=\left ( { a_{ 1 } -8 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { b_{ 1 } -8 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 8-a_{ 1 } -b_{ 1 } } \right ) ^ { 2 } \geq \frac { \left ( { a_{ 1 } +b_{ 1 } -16 } \right ) ^ { 2 } } { 2 }+\left ( { 8-a_{ 1 } -b_{ 1 } } \right ) ^ { 2 } \Leftrightarrow \frac { 4 } { 3 }\leq a_{ 1 } +b_{ 1 } -4\leq 12$
Tiếp đến ta có mặt phẳng $(ABC)$ nhận $\overrightarrow{OM}=\left ( { a_{ 1 } ;b_{ 1 } ;c_{ 1 } } \right )$ làm vector pháp tuyến nên suy ra:
$(ABC):a_{ 1 } x+b_{ 1 } y+c_{ 1 } z+D=0$ tức $d ^ { 2 } (N;(ABC))=P=\frac { \left ( { c_{ 1 } +D } \right ) ^ { 2 } } { a_{ 1 } ^{ 2 }+b_{ 1 } ^{ 2 }+c_{ 1 } ^{ 2 } }=\frac { \left ( { D+8-a_{ 1 } -b_{ 1 } } \right ) ^ { 2 } } { a_{ 1 } ^{ 2 }+b_{ 1 } ^{ 2 }+64-\left ( { a_{ 1 } -8 } \right ) ^ { 2 } -\left ( { b_{ 1 } -8 } \right ) ^ { 2 } }$
$\Rightarrow d ^ { 2 } (N;(ABC))=\frac { \left ( { a_{ 1 } +b_{ 1 } -8-D } \right ) ^ { 2 } } { 16\left ( { a_{ 1 } +b_{ 1 } -4 } \right ) }$.
Đến đây ta cần xử lí thêm ẩn $D$ thông qua $d(O;(ABC))$.
Từ phương trình đề cho $ax+2y+cz+d=0$ ta suy ra: $b_{ 1 } =2\|k\|\leq 8\Leftrightarrow -4\leq k\leq 4$ tức $-4\leq D\leq 4$ (tỉ lệ không đổi)
Suy ra: $d^2(N;(ABC))=\frac{(a_1+b_1-8-D)^2}{16(a_1+b_1-4)}\leq\frac{(a_1+b_1-8+4)^2}{16(a_1+b_1-4)}=\frac{a_1+b_1-4}{16}\leq\frac{3}{4}\quad\forall a_1+b_1-4\in\left[\frac{4}{3};12\right]$
Khi ấy $d(N;(ABC))_{ max } =\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ với dấu bằng xảy ra khi $\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} D=-4;a_{ 1 } +b_{ 1 } =8 \\ a_{ 1 } +b_{ 1 } +c_{ 1 } =8 \\ \end{array} \end{array} \right.$ tức $M\equiv M_{ 2 } (8;8;-8)$
Khi đó ta suy ra $(ABC):8x+8y-8z-4=0\Leftrightarrow (ABC):2x+2y-2z-1=0$ tức $a+2c+d=-3$.