Bài tập nâng cao · Bài 53
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 53
Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(6;0;0)$, $B(6;8;0)$, $C(0;8;0)$. Gọi mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $B$ và vuông góc với $AC$. Điểm $M$ thay đổi thoả mãn $\widehat { ABM }= \widehat { AMC }=90 ^ { ° }$. Gọi $N$ là giao điểm của $AM$ và $(\alpha )$. Khoảng cách từ $N$ đến $(ABC)$ có giá trị lớn nhất bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $AB=8$, $BC=6$, $AC=10$ nên $\Delta ABC$ vuông tại $B$, suy ra $B$ thuộc mặt cầu $(S)$ có đường kính $AC$.
Lại có $\widehat { AMC }=90 ^ { ° }$ nên $M\in (S)$.
Vì $\widehat { ABM }=90 ^ { ° }$ nên $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ qua $B$ và vuông góc $AB$.
Từ đó ta có $M$ nằm trên đường tròn $(C)$ là giao tuyến của mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$.
Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $B$, vuông góc với $AC$ và cắt $AC$ tại $K$.
Do $\left \{ \begin{array}{l} AB\perp MC \\ MA\perp MC \end{array} \right.\Rightarrow MC\perp(ABM)\Rightarrow MC\perp BN$.
Lại có $BN\perp AC$ nên $BN\perp(ANC)\Rightarrow BN\perp NK$.
Suy ra $N$ thuộc đường tròn đường kính $BK$.
Gọi $T$ là trung điểm $BK$.
Khi đó ${ \rm{ d } }(N,(ABC))\leq NT=\frac { 1 } { 2 }BC=\frac { 1 } { 2 }{ \rm{ d } }(B,AC)=\frac { 12 } { 5 }$.