Bài tập nâng cao · Bài 54
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 54
Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):2x-y+2z-1=0,(Q):2x-y+2z+11=0$ và các điểm $A(-1;1;1),B(1;2;3)$. Gọi $(S)$ là mặt cầu bất kỳ qua $A$ và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $(P),(Q)$. Gọi $I$ là tâm của mặt cầu $(S)$. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng $BI$?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $I$ là tâm mặt cầu $(S)$ thì $I$ chạy trên mặt phẳng $(\alpha )$ song song và cách đều $(P),(Q)$ nên mặt phẳng $(\alpha ):2x-y+2z+5=0$ và bán kính mặt cầu $(S)$ là
$AI=d_{ ((\alpha ):(P)) } =\frac { \|5+1\| } { \sqrt { 2 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } } }=2$. Từ đó suy ra $I$ cũng thuộc mặt cầu $\left ( { S ^ { ' } } \right )$ tâm $A,$ bán kính $AI$.
Suy ra: tập hợp điểm $I$ là đường tròn $(C)=(\alpha )\cap\left ( { S ^ { ' } } \right )$ có bán kính $r=\sqrt { AI ^ { 2 } -d ^ { 2 } _{ (A:(\alpha )) } }=\frac { 2\sqrt { 5 } } { 3 }$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,B$ lên $(\alpha )\Rightarrow BK=d_{ (B;(\alpha )) } =\frac { 11 } { 3 }$ và $K\left ( { -\frac { 13 } { 9 };\frac { 29 } { 9 };\frac { 5 } { 9 } } \right )$.
Ta có: $BI=\sqrt { BK ^ { 2 } +IK ^ { 2 } }\Rightarrow BI_{ max } \Leftrightarrow IK_{ max } =r+HK=r+\sqrt { AK ^ { 2 } -AH ^ { 2 } }=\frac { 2\sqrt { 5+4\sqrt { 2 } } } { 3 }$.
Vậy $BI_{ max } =\sqrt { BK ^ { 2 } +IK ^ { 2 } }\approx 4,98\in (4;5)$.
$AI=d_{ ((\alpha ):(P)) } =\frac { \|5+1\| } { \sqrt { 2 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } } }=2$. Từ đó suy ra $I$ cũng thuộc mặt cầu $\left ( { S ^ { ' } } \right )$ tâm $A,$ bán kính $AI$.
Suy ra: tập hợp điểm $I$ là đường tròn $(C)=(\alpha )\cap\left ( { S ^ { ' } } \right )$ có bán kính $r=\sqrt { AI ^ { 2 } -d ^ { 2 } _{ (A:(\alpha )) } }=\frac { 2\sqrt { 5 } } { 3 }$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,B$ lên $(\alpha )\Rightarrow BK=d_{ (B;(\alpha )) } =\frac { 11 } { 3 }$ và $K\left ( { -\frac { 13 } { 9 };\frac { 29 } { 9 };\frac { 5 } { 9 } } \right )$.
Ta có: $BI=\sqrt { BK ^ { 2 } +IK ^ { 2 } }\Rightarrow BI_{ max } \Leftrightarrow IK_{ max } =r+HK=r+\sqrt { AK ^ { 2 } -AH ^ { 2 } }=\frac { 2\sqrt { 5+4\sqrt { 2 } } } { 3 }$.
Vậy $BI_{ max } =\sqrt { BK ^ { 2 } +IK ^ { 2 } }\approx 4,98\in (4;5)$.