Bài tập nâng cao · Bài 55
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 55
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left ( { S } \right ):\ \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z-6 } \right ) ^ { 2 } =25$ và ba điểm $A\left ( { 2;\ 2;\ 4 } \right ),$ $B\left ( { -2;-2;\ 2 } \right ),C\left ( { 5;\ -2;\ -3 } \right )$. Điểm $M$ nằm trên $\left ( { S } \right )$ và cách đều hai điểm $A,B$. Độ dài đoạn $CM$ có giá trị lớn nhất bằng
Xem lời giải
Lời giải
Điểm $M$ nằm trên $\left ( { S } \right )$ và cách đều hai điểm $A,B\Rightarrow M$ là giao điểm của $\left ( { S } \right )$ và mặt phẳng trung trực của $AB$.
Mặt phẳng trung trực của $AB$ qua trung điểm $J\left ( { 0;0;3 } \right )$ có véc tơ pháp tuyến $u=-\frac { 1 } { 2 }\overrightarrow{AB}=\left ( { 2;2;1 } \right )$
Phương trình mặt phẳng trung trực $AB$ là $\left ( { P } \right ):\ 2\left ( { x-0 } \right )+2\left ( { y-0 } \right )+\left ( { z-3 } \right )=0$.
$\Leftrightarrow \left ( { P } \right ):\ \ 2x+2y+z-3=0$
Dễ thấy $C\left ( { 5;\ -2;\ -3 } \right )\in \left ( { P } \right )$
Mặt cầu $\left ( { S } \right ):\ \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z-6 } \right ) ^ { 2 } =25\Rightarrow I\left ( { 1;2;6 } \right ),\ R=5$.
Hình chiếu của $I\left ( { 1;2;6 } \right )$ lên mặt phẳng $\left ( { P } \right )$ là $H$ tâm của đường tròn giao tuyến giữa $\left ( { S } \right )$ và $\left ( { P } \right ).$
Đường thẳng $IH$ dạng: $\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=1+2t \\ y=2+2t \\ z=6+t\ \ \\ \end{array} \end{array} \right.$.
Với $H=\left ( { P } \right )\cap IH\Rightarrow 2\left ( { 1+2t } \right )+2\left ( { 2+2t } \right )+\left ( { 6+t } \right )-3=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow H\left ( { -1;0;5 } \right )$.
Bán kính đường giao tuyến $R^{\prime 2} =R ^ { 2 } -d ^ { 2 } \left ( { I,\left ( { P } \right ) } \right )=5 ^ { 2 } -\left ( { \frac { 2.1+2.2+1.6-3 } { \sqrt { 2 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } } } } \right ) ^ { 2 } =16\Rightarrow R'=4$.
$MC_{ max } =CH+R'=\sqrt { \left ( { 5+1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -2-0 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -3-5 } \right ) ^ { 2 } }+4=2\sqrt { 26 }+4$.
Mặt phẳng trung trực của $AB$ qua trung điểm $J\left ( { 0;0;3 } \right )$ có véc tơ pháp tuyến $u=-\frac { 1 } { 2 }\overrightarrow{AB}=\left ( { 2;2;1 } \right )$
Phương trình mặt phẳng trung trực $AB$ là $\left ( { P } \right ):\ 2\left ( { x-0 } \right )+2\left ( { y-0 } \right )+\left ( { z-3 } \right )=0$.
$\Leftrightarrow \left ( { P } \right ):\ \ 2x+2y+z-3=0$
Dễ thấy $C\left ( { 5;\ -2;\ -3 } \right )\in \left ( { P } \right )$
Mặt cầu $\left ( { S } \right ):\ \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z-6 } \right ) ^ { 2 } =25\Rightarrow I\left ( { 1;2;6 } \right ),\ R=5$.
Hình chiếu của $I\left ( { 1;2;6 } \right )$ lên mặt phẳng $\left ( { P } \right )$ là $H$ tâm của đường tròn giao tuyến giữa $\left ( { S } \right )$ và $\left ( { P } \right ).$
Đường thẳng $IH$ dạng: $\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=1+2t \\ y=2+2t \\ z=6+t\ \ \\ \end{array} \end{array} \right.$.
Với $H=\left ( { P } \right )\cap IH\Rightarrow 2\left ( { 1+2t } \right )+2\left ( { 2+2t } \right )+\left ( { 6+t } \right )-3=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow H\left ( { -1;0;5 } \right )$.
Bán kính đường giao tuyến $R^{\prime 2} =R ^ { 2 } -d ^ { 2 } \left ( { I,\left ( { P } \right ) } \right )=5 ^ { 2 } -\left ( { \frac { 2.1+2.2+1.6-3 } { \sqrt { 2 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } } } } \right ) ^ { 2 } =16\Rightarrow R'=4$.
$MC_{ max } =CH+R'=\sqrt { \left ( { 5+1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -2-0 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -3-5 } \right ) ^ { 2 } }+4=2\sqrt { 26 }+4$.