Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left ( { S } ight ):\,x ^ { 2 } +\left ( { y-1 } ight ) ^ { 2 } +\left ( { z+2 } ight ) ^ { 2 } =9$ và điểm $A\left ( { 2;\,-1;\,2 } ight )$. Từ $A$ kẻ ba tiếp tuyến bất kì $AM,\,AN,\,AP$ đến $\left ( { S } ight )$. Gọi $T$ là điểm thay đổi trên mặt phẳng $\left ( { MNP } ight )$ sao cho từ $T$ kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến $\left ( { S } ight )$ và cả hai tiếp tuyến này đều nằm trong $\left ( { MNP } ight )$. Khoảng cách từ $T$ đến giao điểm của đường thẳng $\Delta :\,\left \{ \begin{array}{l} x=-1+t \ y=2-t \ z=1+3t \end{array} ight.$ với mặt phẳng $\left ( { MNP } ight )$ có giá trị nhỏ nhất là

Question

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left ( { S } ight ):\,x ^ { 2 } +\left ( { y-1 } ight ) ^ { 2 } +\left ( { z+2 } ight ) ^ { 2 } =9$ và điểm $A\left ( { 2;\,-1;\,2 } ight )$. Từ $A$ kẻ ba tiếp tuyến bất kì $AM,\,AN,\,AP$ đến $\left ( { S } ight )$. Gọi $T$ là điểm thay đổi trên mặt phẳng $\left ( { MNP } ight )$ sao cho từ $T$ kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến $\left ( { S } ight )$ và cả hai tiếp tuyến này đều nằm trong $\left ( { MNP } ight )$. Khoảng cách từ $T$ đến giao điểm của đường thẳng $\Delta :\,\left \{ \begin{array}{l} x=-1+t \ y=2-t \ z=1+3t \end{array} ight.$ với mặt phẳng $\left ( { MNP } ight )$ có giá trị nhỏ nhất là

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Mặt cầu $\left ( { S } \right ):\,x ^ { 2 } +\left ( { y-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z+2 } \right ) ^ { 2 } =9$ có tâm $I=\left ( { 0;\,1;\,-2 } \right ),\,R=3$. Ta có $\overrightarrow{AI}=\left ( { -2;\,2;\,-4 } \right )\Rightarrow AI=2\sqrt { 6 }$. [IMAGE:question_images/12-CD22. PHUONG TRINH MAT CAU/F. BAI TAP NANG CAO/image1638.png] [IMAGE:question_images/12-CD22. PHUONG TRINH MAT CAU/F. BAI TAP NANG CAO/image1639.png] Ta có $\left ( { MNP } \right )\cap\left ( { S } \right )$ bởi đường tròn $\left ( { C } \right )$ tâm $H$ bán kính $r$ với $H=AI\cap\left ( { MNP } \right )$. Vì tam giác $AMI$ vuông tại $M\Rightarrow AM=\sqrt { AI ^ { 2 } -R ^ { 2 } }=\sqrt { 24-9 }=\sqrt { 15 }\Rightarrow AH=\frac { AM ^ { 2 } } { AI }=\frac { 5\sqrt { 6 } } { 4 }$ $\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\frac { 5 } { 8 }\overrightarrow{AI}\Rightarrow H=\left ( { \frac { 3 } { 4 };\,\frac { 1 } { 4 };\,-\frac { 1 } { 2 } } \right )$. Mặt phẳng $\left ( { MNP } \right )$ đi qua $H$ vuông góc $AI$ có phương trình: $2x-2y+4z+1=0$. Ta có $IH=\frac { 3\sqrt { 6 } } { 4 }$ nên đường tròn $\left ( { C } \right )$ tâm $H$ bán kính $r=\sqrt { R ^ { 2 } -IH ^ { 2 } }=\frac { 3\sqrt { 10 } } { 4 }$ [IMAGE:question_images/12-CD22. PHUONG TRINH MAT CAU/F. BAI TAP NANG CAO/image1654.png] Giả sử qua $T$ $\in \left ( { MNP } \right )$ và qua $T$ kẻ được hai tiếp tuyến $TE,\,TF$ vuông góc với nhau đến $\left ( { S } \right )$ và $TE,\,TF\subset$ $\left ( { MNP } \right )$ khi đó ta có tam giác $TEH$ vuông cân nên $TH=r\sqrt { 2 }=\frac { 3\sqrt { 10 } } { 4 }.\sqrt { 2 }=\frac { 3\sqrt { 5 } } { 2 }$. Gọi $D=\Delta \cap\left ( { MNP } \right )\Rightarrow D\left ( { -\frac { 15 } { 66 };\,\frac { 31 } { 16 };\,\frac { 19 } { 16 } } \right )\Rightarrow DH=\frac { 27\sqrt { 3 } } { 16 }$. Theo giả thiết $TD$ nhỏ nhất khi $D,\,T,\,H$ thẳng hàng và $TD_{ min } =DH-HT=\frac { 27\sqrt { 3 } } { 16 }-\frac { 3\sqrt { 5 } } { 2 }$.

Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 56