Bài tập nâng cao · Bài 57
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 57
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $A\left ( { x_{ 0 } ;0;0 } \right )$ $B\left ( { -x_{ 0 } ;0;0 } \right )$, $C\left ( { 0;1;0 } \right )$ và $B'\left ( { -x_{ 0 } ;0;y_{ 0 } } \right )$ trong đó $x_{ 0 } ;y_{ 0 }$ là các số thực dương và thỏa mãn $x_{ 0 } +y_{ 0 } =4$. Khi khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC'$ và $B'C$ lớn nhất thì bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng bao nhiêu?
Xem lời giải
Lời giải
+ Xác định tọa độ các đỉnh hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$.
$A\left ( { x_{ 0 } ;0;0 } \right )$, $B\left ( { -x_{ 0 } ;0;0 } \right )$, $C\left ( { 0;1;0 } \right )$
$A'\left ( { x_{ 0 } ;0;y_{ 0 } } \right )$, $B'\left ( { -x_{ 0 } ;0;y_{ 0 } } \right )$, $C'\left ( { 0;1;y_{ 0 } } \right )$
+ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC'$ và $B'C$.
$\overrightarrow{AC'}=\left ( { -x_{ 0 } ;1;y_{ 0 } } \right )$, $\overrightarrow{B'C}=\left ( { x_{ 0 } ;1;-y_{ 0 } } \right )$ và $\overrightarrow{CC'}=\left ( { 0;0;y_{ 0 } } \right )$
$d\left ( { AC',B'C } \right )=\frac { \left | { \left[ \overrightarrow{AC'},\overrightarrow{B'C} \right].\overrightarrow{CC'} } \right | } { \left | { \left[ \overrightarrow{AC'},\overrightarrow{B'C} \right] } \right | }=\frac { \left | { x_{ 0 } y_{ 0 } } \right | } { \sqrt { x_{ 0 } ^{ 2 }+y_{ 0 } ^{ 2 } } }=\sqrt { \frac { \left ( { x_{ 0 } y_{ 0 } } \right ) ^ { 2 } } { \left ( { x_{ 0 } +y_{ 0 } } \right ) ^ { 2 } -2x_{ 0 } y_{ 0 } } }$
Đặt $t=x_{ 0 } y_{ 0 } \leq \left ( { \frac { x_{ 0 } +y_{ 0 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } =4$ $\Rightarrow t\in \left ( { 0;4 } \right ]$
Xét $f\left ( { t } \right )=\frac { t ^ { 2 } } { 16-2t }\Rightarrow f'\left ( { t } \right )=\frac { 32t-2t ^ { 2 } } { \left ( { 16-2t } \right ) ^ { 2 } }$.
Cho $f'\left ( { t } \right )=0\Rightarrow \left[ t=0 \\ t=16 \right.$
Bảng biến thiên
Giá trị lớn nhất của $d\left ( { AC',B'C } \right )$ bằng $f\left ( { 4 } \right )$ nên $x_{ 0 } y_{ 0 } =4$ $\left ( { 1 } \right )$
Mặt khác $x_{ 0 } +y_{ 0 } =4$ $\left ( { 2 } \right )$
Từ $\left ( { 1 } \right )$ và $\left ( { 2 } \right )$ ta có $x_{ 0 } =y_{ 0 } =2$.
Khi đó, $AB=4$, $AC=BC=\sqrt { 5 }$ và chiều cao hình lăng trụ là $h=CC'=2$
Ta có $r=\frac { AB.AC.BC } { 4S_{ \Delta ABC } }=\frac { 5 } { 2 }$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $\Delta ABC$.
Vậy $R=\sqrt { r ^ { 2 } +\left ( { \frac { h } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt { \left ( { \frac { 5 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 2 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { \sqrt { 29 } } { 2 }$.