Bài tập nâng cao · Bài 58
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 58
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left ( { 2\,;1\,;-2 } \right )$, $B\left ( { 5\,;1\,;1 } \right )$ và mặt cầu $\left ( { S } \right ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } +6y+12z+9=0$. Xét đường thẳng $d$ đi qua $A$ và tiếp xúc với $\left ( { S } \right )$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $d$ nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng $d$ là
Xem lời giải
Lời giải
Mặt cầu $\left ( { S } \right )$ có tâm $I\left ( { 0\,;-3\,;-6 } \right )$ và bán kính $R=\sqrt { 3 ^ { 2 } +6 ^ { 2 } -9 }=6$.
Vì $IA=R$ nên $A\in \left ( { S } \right )\Rightarrow d$ đi qua $A$ và vuông góc với $IA\Rightarrow d$ nằm trong $\left ( { P } \right )$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $IA$. Ta có $\left ( { P } \right ):x+2y+2z=0$.
Mặt khác, ta luôn có: ${ \rm{ d } }\left ( { B,d } \right )\geq { \rm{ d } }\left ( { B,\left ( { P } \right ) } \right )=3$. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow d$ là hình chiếu của đường thẳng $AB$ trên $\left ( { P } \right )$.
Ta tìm hình chiếu $H$ của $B$ trên $\left ( { P } \right )$:
Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua $B$ và vuông góc với $\left ( { P } \right )\Rightarrow \Delta :\frac { x-5 } { 1 }=\frac { y-1 } { 2 }=\frac { z-1 } { 2 }$.
Vì $H$ là giao điểm của $\Delta$ và $\left ( { P } \right )$ nên tọa độ $H$ là nghiệm của hệ: $\left \{ \begin{array}{l} \frac { x-5 } { 1 }=\frac { y-1 } { 2 }=\frac { z-1 } { 2 } \\ x+2y+2z=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x=4 \\ y=-1 \\ z=-1 \end{array} \right.\Rightarrow H\left ( { 4\,;-1\,;-1 } \right )$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left ( { 2\,;-2\,;1 } \right )$.
Do đó, $d$ là đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $H$ nên có phương trình: $\left \{ \begin{array}{l} x=2+2t \\ y=1-2t \\ z=-2+t \end{array} \right.$.
Vì $IA=R$ nên $A\in \left ( { S } \right )\Rightarrow d$ đi qua $A$ và vuông góc với $IA\Rightarrow d$ nằm trong $\left ( { P } \right )$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $IA$. Ta có $\left ( { P } \right ):x+2y+2z=0$.
Mặt khác, ta luôn có: ${ \rm{ d } }\left ( { B,d } \right )\geq { \rm{ d } }\left ( { B,\left ( { P } \right ) } \right )=3$. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow d$ là hình chiếu của đường thẳng $AB$ trên $\left ( { P } \right )$.
Ta tìm hình chiếu $H$ của $B$ trên $\left ( { P } \right )$:
Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua $B$ và vuông góc với $\left ( { P } \right )\Rightarrow \Delta :\frac { x-5 } { 1 }=\frac { y-1 } { 2 }=\frac { z-1 } { 2 }$.
Vì $H$ là giao điểm của $\Delta$ và $\left ( { P } \right )$ nên tọa độ $H$ là nghiệm của hệ: $\left \{ \begin{array}{l} \frac { x-5 } { 1 }=\frac { y-1 } { 2 }=\frac { z-1 } { 2 } \\ x+2y+2z=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x=4 \\ y=-1 \\ z=-1 \end{array} \right.\Rightarrow H\left ( { 4\,;-1\,;-1 } \right )$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left ( { 2\,;-2\,;1 } \right )$.
Do đó, $d$ là đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $H$ nên có phương trình: $\left \{ \begin{array}{l} x=2+2t \\ y=1-2t \\ z=-2+t \end{array} \right.$.