Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 59

Mặt cầu $\left ( { S } \right )$ có tâm $I\left ( { -3;-4;-5 } \right )$ và bán kính $R=27$.
Đường thẳng $d$ có 1 véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left ( { 2;3;4 } \right )\Rightarrow d\perp\left ( { P } \right )$.
Gọi $K$ là giao điểm của mặt phẳng $\left ( { P } \right )$ và đường thẳng $d$. Vì $I\in d$ nên $K$ là tâm của đường tròn giao tuyến và $KB\perp d$.
Ta có $\overrightarrow{IA}=\left ( { 1;2;-2 } \right )\Rightarrow IA=3$ và $\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{u}=0\Rightarrow IA\perp d$.
Ta tính được $IK={ \rm{ d } }\left ( { I,\,\left ( { P } \right ) } \right )=\frac { \left | { 2.\left ( { -3 } \right )+3.\left ( { -4 } \right )+4\left ( { -5 } \right )-107 } \right | } { \sqrt { 2 ^ { 2 } +3 ^ { 2 } +4 ^ { 2 } } }=5\sqrt { 29 }$ và $KB=\sqrt { R ^ { 2 } -IK ^ { 2 } }=2$.
Do $M$ di động trên đường thẳng $d$ (trục của đường tròn giao tuyến) và $B$ thuộc đường tròn giao tuyến nên biểu thức $MA+MB$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $M=AB\cap d$.
Khi đó, ta có $\frac { MI } { MK }=\frac { IA } { KB }=\frac { 3 } { 2 }$ và $MI+MK=IK=5\sqrt { 29 }$.
Suy ra $MI=3\sqrt { 29 }$, $MK=2\sqrt { 29 }$.
Ta có $AM=\sqrt { IA ^ { 2 } +MI ^ { 2 } }=3\sqrt { 30 }$ $\Rightarrow BM=\frac { 2 } { 3 }AM=2\sqrt { 30 }$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $MA+MB$ là $AM+BM=3\sqrt { 30 }+2\sqrt { 30 }=5\sqrt { 30 }$.
Cách 2:

Ta có $\left ( { S } \right )$ có tâm $I\left ( { -3;-4;-5 } \right )$, bán kính $R=27$.
Dễ thấy $d$ đi qua $I\left ( { -3;-4;-5 } \right )$ và vuông góc với $\left ( { P } \right )$.
$\left ( { P } \right )$ cắt $\left ( { S } \right )$ theo đường tròn có bán kính $r=2$.
$M\in d\Leftrightarrow M\left ( { 1+2t;2+3t;3+4t } \right )$.
Ta có $T=MA+MB=MA+\sqrt { MH ^ { 2 } +r ^ { 2 } }.$
Lại có $MH=d(M;(P))=\frac { \left | { 29t-87 } \right | } { \sqrt { 29 } }=\left | { \sqrt { 29 }t-3\sqrt { 29 } } \right |$.
Suy ra $T=\sqrt { 29t ^ { 2 } +116t+125 }+\sqrt { 29\left ( { t-3 } \right ) ^ { 2 } +4 }$ $=\sqrt { 29 }\sqrt { \left ( { t+2 } \right ) ^ { 2 } +\frac { 9 } { 29 } }+\sqrt { 29 }\sqrt { \left ( { t-3 } \right ) ^ { 2 } +\frac { 4 } { 29 } }.$
Xét $\overrightarrow{u}=\left ( { t+2;\frac { 3 } { \sqrt { 29 } } } \right )$, $\overrightarrow{v}=\left ( { 3-t;\frac { 2 } { \sqrt { 29 } } } \right )$ $\Rightarrow \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left ( { 5;\frac { 5 } { \sqrt { 29 } } } \right )$.
Do đó $T=\sqrt { 29 }\left ( { \left | { \overrightarrow{u} } \right |+\left | { \overrightarrow{v} } \right | } \right )\geq \sqrt { 29 }\left | { \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} } \right |=5\sqrt { 50 }$.