Bài tập nâng cao · Bài 60
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 60
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left ( { P } \right ):x+y+z-1=0$, đường thẳng $\left ( { d } \right ):\frac { x-15 } { 1 }=\frac { y-22 } { 2 }=\frac { z-37 } { 2 }$ và mặt cầu $\left ( { S } \right ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -8x-6y+4z+4=0$. Một đường thẳng $\left ( { \Delta } \right )$ thay đổi cắt mặt cầu $\left ( { S } \right )$ tại hai điểm $A,\,B$ sao cho $AB=8$. Gọi $A'$, $B'$ là hai điểm lần lượt thuộc mặt phẳng $\left ( { P } \right )$ sao cho $AA'$, $BB'$ cùng song song với $\left ( { d } \right )$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $AA'+BB'$ là
Xem lời giải
Lời giải
Mặt cầu $\left ( { S } \right )$ có tâm $I\left ( { 4;3;-2 } \right )$ và bán kính $R=5$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ thì $IH\perp AB$ và $IH=3$ nên $H$ thuộc mặt cầu $\left ( { S' } \right )$ tâm $I$ bán kính $R'=3$.
Gọi $M$ là trung điểm của $A'B'$ thì $AA'+BB'=2HM$, $M$ nằm trên mặt phẳng $\left ( { P } \right )$.
Mặt khác ta có $d\left ( { I;\left ( { P } \right ) } \right )=\frac { 4 } { \sqrt { 3 } } < R$ nên $\left ( { P } \right )$ cắt mặt cầu $\left ( { S } \right )$ và $\sin\left ( { d;\left ( { P } \right ) } \right )=\sin\alpha =\frac { 5 } { 3\sqrt { 3 } }$. Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên $\left ( { P } \right )$ thì $HK=HM.\sin\alpha$.
Vậy để $AA'+BB'$ lớn nhất thì $HK$ lớn nhất
$\Leftrightarrow HK$ đi qua $I$ nên $HK_{ max } =R'+d\left ( { I;\left ( { P } \right ) } \right )=3+\frac { 4 } { \sqrt { 3 } }=\frac { 4+3\sqrt { 3 } } { \sqrt { 3 } }$.
Vậy $AA'+BB'$ lớn nhất bằng $2\left ( { \frac { 4+3\sqrt { 3 } } { \sqrt { 3 } } } \right ).\frac { 3\sqrt { 3 } } { 5 }=\frac { 24+18\sqrt { 3 } } { 5 }$.