Bài tập nâng cao · Bài 62
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 62
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):\left ( { x-3 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-1 } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } =4$ và đường thẳng $d:\left \{ \begin{array}{l} x=1+2t \\ y=-1+t \\ z=-t \end{array} \right.,(t\in \mathbb{R})$. Mặt phẳng chứa $d$ và cắt $(S)$ theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là
Xem lời giải
Lời giải
Mặt cầu $\left ( { S } \right )$ có tâm $I\left ( { 3;1;0 } \right )$ và bán kính $R=2$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên $d$.
$H\in d\Leftrightarrow H\left ( { 1+2t;-1+t;-t } \right )$; $\overrightarrow{IH}=\left ( { -2+2t;-2+t;-t } \right )$.
Véctơ chỉ phương của $d$ là $\overset\rightarrow { u_{ d } }=\left ( { 2;1;-1 } \right )$.
$\overrightarrow{IH}.\overset\rightarrow { u_{ d } }=0$ $\Leftrightarrow 2\left ( { -2+2t } \right )+1\left ( { -2+t } \right )+t=0$ $\Leftrightarrow t=1$. Suy ra $H\left ( { 3;0;-1 } \right )$ $\Rightarrow IH=\sqrt { 2 }$.
Gọi $\left ( { P } \right )$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và cắt mặt cầu $\left ( { S } \right )$ theo đường tròn có bán kính $r$. Ta có $r=\sqrt { R ^ { 2 } -\left[ d\left ( { I,\left ( { P } \right ) } \right ) \right] ^ { 2 } }=\sqrt { 4-\left[ d\left ( { I,\left ( { P } \right ) } \right ) \right] ^ { 2 } }$.
Mà $d\left ( { I,\left ( { P } \right ) } \right )\leq IH=\sqrt { 2 }$ nên $r=\sqrt { 4-\left[ d\left ( { I,\left ( { P } \right ) } \right ) \right] ^ { 2 } }\geq \sqrt { 4-IH ^ { 2 } }=\sqrt { 4-\left ( { \sqrt { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt { 2 }$.
Suy ra $min\,r=\sqrt { 2 }$, đạt được khi $IH\perp\left ( { P } \right )$.
Khi đó mặt phẳng $\left ( { P } \right )$ đi qua $H\left ( { 3;0;-1 } \right )$ nhận $\overrightarrow{IH}=\left ( { 0;-1;-1 } \right )$ làm một véctơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng $\left ( { P } \right )$ là: $0\left ( { x-3 } \right )-1\left ( { y-0 } \right )-1\left ( { z+1 } \right )=0$ $\Leftrightarrow y+z+1=0$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên $d$.
$H\in d\Leftrightarrow H\left ( { 1+2t;-1+t;-t } \right )$; $\overrightarrow{IH}=\left ( { -2+2t;-2+t;-t } \right )$.
Véctơ chỉ phương của $d$ là $\overset\rightarrow { u_{ d } }=\left ( { 2;1;-1 } \right )$.
$\overrightarrow{IH}.\overset\rightarrow { u_{ d } }=0$ $\Leftrightarrow 2\left ( { -2+2t } \right )+1\left ( { -2+t } \right )+t=0$ $\Leftrightarrow t=1$. Suy ra $H\left ( { 3;0;-1 } \right )$ $\Rightarrow IH=\sqrt { 2 }$.
Gọi $\left ( { P } \right )$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và cắt mặt cầu $\left ( { S } \right )$ theo đường tròn có bán kính $r$. Ta có $r=\sqrt { R ^ { 2 } -\left[ d\left ( { I,\left ( { P } \right ) } \right ) \right] ^ { 2 } }=\sqrt { 4-\left[ d\left ( { I,\left ( { P } \right ) } \right ) \right] ^ { 2 } }$.
Mà $d\left ( { I,\left ( { P } \right ) } \right )\leq IH=\sqrt { 2 }$ nên $r=\sqrt { 4-\left[ d\left ( { I,\left ( { P } \right ) } \right ) \right] ^ { 2 } }\geq \sqrt { 4-IH ^ { 2 } }=\sqrt { 4-\left ( { \sqrt { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt { 2 }$.
Suy ra $min\,r=\sqrt { 2 }$, đạt được khi $IH\perp\left ( { P } \right )$.
Khi đó mặt phẳng $\left ( { P } \right )$ đi qua $H\left ( { 3;0;-1 } \right )$ nhận $\overrightarrow{IH}=\left ( { 0;-1;-1 } \right )$ làm một véctơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng $\left ( { P } \right )$ là: $0\left ( { x-3 } \right )-1\left ( { y-0 } \right )-1\left ( { z+1 } \right )=0$ $\Leftrightarrow y+z+1=0$.