Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 1

Ta có $ \int { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ $ =\int { \frac { 1 } { x ^ { 2 } -1 }{ \rm{ d } }x } $ $ =\int { \frac { 1 } { \left ( { x-1 } \right )\left ( { x+1 } \right ) }{ \rm{ d } }x } $ $ =\frac { 1 } { 2 }\int { \left ( { \frac { 1 } { x-1 }-\frac { 1 } { x+1 } } \right ){ \rm{ d } }x } $ $ =\frac { 1 } { 2 }\left ( { ln\left | { x-1 } \right |-ln\left | { x+1 } \right | } \right )+C $ $ =\left \{ \begin{array}{l} \frac { 1 } { 2 }ln\frac { x-1 } { x+1 }+C_{ 1 } ,\left | { x } \right |>1 \\ \frac { 1 } { 2 }ln\frac { 1-x } { x+1 }+C_{ 2 } ,\left | { x } \right | < 1 \end{array} \right. $ . $ f\left ( { -3 } \right )=\frac { 1 } { 2 }ln2+C_{ 1 } $ ; $ f\left ( { 3 } \right )=-\frac { 1 } { 2 }ln2+C_{ 1 } $ , do đó $ f\left ( { -3 } \right )+f\left ( { 3 } \right )=0\Rightarrow C_{ 1 } =0 $ . $ f\left ( { -\frac { 1 } { 2 } } \right )=\frac { 1 } { 2 }ln3+C_{ 2 } $ ; $ f\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right )=-\frac { 1 } { 2 }ln3+C_{ 2 } $ , do đó $ f\left ( { -\frac { 1 } { 2 } } \right )+f\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right )=2 $ $ \Rightarrow C_{ 2 } =1 $ . $ f\left ( { -2 } \right )=\frac { 1 } { 2 }ln3 $ , $ f\left ( { 0 } \right )=C_{ 2 } =1 $ ; $ f\left ( { 4 } \right )=\frac { 1 } { 2 }ln\frac { 3 } { 5 } $ .
Do đó $ f\left ( { -2 } \right )+f\left ( { 0 } \right )+f\left ( { 4 } \right )=\frac { 1 } { 2 }ln3+1+\frac { 1 } { 2 }ln\frac { 3 } { 5 }=1+ln\left ( { \frac { 3\sqrt[] { 5 } } { 5 } } \right ) $ .