BeedemyVào trang học

Tất cả chương bài tập nâng cao lớp 12 →

Bài tập nâng cao Nguyên hàm

Bài tập vận dụng cao có lời giải chi tiết.

56 bài có lời giải chi tiết Bắt đầu bài tập nâng cao

Bảng nguyên hàm các hàm cơ bản (lũy thừa, mũ, lôgarit, lượng giác) · 3 bài

  1. Bài 3. Gọi $ F\left ( { x } \right ) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left ( { x } \right )=2 ^ { x } $…
    Học bài này
  2. Bài 6. Biết rằng $ \int { \left ( { cos ^ { 3 } x.sin3x+sin ^ { 3 } x.cos3x } \right ){ \rm{ d } }x=\frac { a } { b }cos4x+C } $…
    Học bài này
  3. Bài 11. Gọi $ F\left ( { x } \right ) $ là nguyên hàm của hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { 2x } { \sqrt[] { x+1 } }-\frac { 1 } { x ^ { 2 } } $…
    Học bài này

Khái niệm nguyên hàm, họ nguyên hàm F(x) + C · 6 bài

  1. Bài 1. Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ xác định trên $ \mathbb{R}\setminus\{-1;1\} $ thỏa mãn $ f'\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { x ^ { 2 } -1 }, $…
    Học bài này
  2. Bài 2. Cho $ f\left ( { x } \right ) $ và $ g\left ( { x } \right ) $ là hai hàm số liên tục và có một ngu…
    Học bài này
  3. Bài 15. Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=2\left | { x-1 } \right | $ . Gọi $ F\left ( { x } \right ) $…
    Học bài này
  4. Bài 16. Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ xác định trên $ \mathbb{R}\setminus \left \{ \begin{array}{l} -2;2 \end{array} \right \} $…
    Học bài này
  5. Bài 46. Cho hàm số $F\left( x \right)=\left( x-1 \right)e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{f\left( x \right)}{e^{x} }$…
    Học bài này
  6. Bài 50. Cho $F\left( x \right)=x^{\pi}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right).\pi^{x}$. Tìm họ ng…
    Học bài này

Tìm nguyên hàm F(x) thỏa mãn điều kiện biên F(x₀) = y₀ · 35 bài

  1. Bài 10. Biết rằng $ F\left ( { x } \right ) $ là một nguyên hàm trên $ \mathbb{R} $ của hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { 2021x } { \left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) ^ { 2022 } } $…
    Học bài này
  2. Bài 14. Cho hàm số $ F\left ( { x } \right ) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { 2cosx-1 } { sin ^ { 2 } x } $…
    Học bài này
  3. Bài 17. Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ đồng biến trên $ \left ( { 0;+\infty } \right ) $ ; $ y=f\left ( { x } \right ) $…
    Học bài này
  4. Bài 18. Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ thỏa mãn $ f\left ( { 2 } \right )=-\frac { 2 } { 9 } $ và $ f'\left ( { x } \right )=2x\left[ f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } $…
    Học bài này
  5. Bài 19. Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ thỏa mãn $ [f'(x)]^2+f(x)f''(x)=2x^2-x+1 $ , $ \forall x\in \mathbb{R} $…
    Học bài này
  6. Bài 20. Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm trên $ \mathbb{R} $ thỏa mãn $ \left ( { x+2 } \right )f\left ( { x } \right )+\left ( { x+1 } \right )f'\left ( { x } \right )={ \rm{ e } } ^ { x } $…
    Học bài này
  7. Bài 21. Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R}\setminus \left \{ \begin{array}{l} 0;\,\,-1 \end{array} \right \} $…
    Học bài này
  8. Bài 22. Giả sử hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục, nhận giá trị dương trên $ \left ( { 0;+\infty } \right ) $…
    Học bài này
  9. Bài 23. Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )\neq 0 $ thỏa mãn điều kiện $ f'\left ( { x } \right )=\left ( { 2x+3 } \right )f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) $…
    Học bài này
  10. Bài 24. Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )\neq 0 $ , $ f'\left ( { x } \right )=\frac { 3x ^ { 4 } +x ^ { 2 } -1 } { x ^ { 2 } }f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) $…
    Học bài này
  11. Bài 25. Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ đồng biến có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn $ \left[ 0;\,2 \right] $…
    Học bài này
  12. Bài 26. Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ thỏa mãn $ f\left ( { 1 } \right )=4 $ và $ f\left ( { x } \right )=xf'\left ( { x } \right )-2x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } $…
    Học bài này
  13. Bài 27. Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục và có đạo hàm trên $ \left ( { 0\,;\frac { \pi } { 2 } } \right ) $…
    Học bài này
  14. Bài 28. Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{2x+1}{x^{4} +2x^{3} +x^{2} }$ trên…
    Học bài này
  15. Bài 29. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \left\{ \begin{array}{l} -1\,;\,0 \end{array} \right\}$…
    Học bài này
  16. Bài 30. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\left( 1\,;\,+\infty \right)$ và thỏa mã…
    Học bài này
  17. Bài 31. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện $x^{6} \left[ f'\left( x \right) \right]^{3} +27\left[ f\left( x \right)-1 \right]^{4} =0\,,\,\forall x\in \mathbb{R}$…
    Học bài này
  18. Bài 34. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến và có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\left ( { f'\left( x \right) } \right )^{2} =f\left( x \right).e^{x} , \forall x\in \mathbb{R}$…
    Học bài này
  19. Bài 35. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ thỏa mãn $f\left( 2 \right)=-\frac{4}{19}$ và $f'\left( x \right)=x^{3} f^{2} \left( x \right)^{} \forall x\in \mathbb{R}$…
    Học bài này
  20. Bài 36. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \left\{ \begin{array}{l} -1;\,0 \end{array} \right\}$…
    Học bài này
  21. Bài 37. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ thỏa mãn $f\left( x \right) < 0,\,\forall x>0$ và có đạo hàm $f'\left( x \right)$…
    Học bài này
  22. Bài 38. Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $R\setminus \left\{ \begin{array}{l} -1;1 \end{array} \right\}$…
    Học bài này
  23. Bài 39. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $(x-1)f'(x)=\frac{f(x)}{x+2}$ và…
    Học bài này
  24. Bài 40. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R},$ thoả mãn $\cos x.f'\left( x \right)+\sin x.f\left( x \right)=2\sin x.\cos^{3} x,$…
    Học bài này
  25. Bài 41. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ thỏa mãn $f(2)=\frac{1}{2}$ và $f'\left( x \right)=3x^{2} \left[ f\left( x \right) \right]^{2}$…
    Học bài này
  26. Bài 43. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0\,;\,5 \right]$ và thỏa mãn $f\left( x \right)+f'\left( x \right)={ \rm{ e } }^{-x} \sqrt{3x+1}$…
    Học bài này
  27. Bài 45. Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mã $f\left( x \right)+f'\left( x \right)=e^{-x}$ và $f\left( 0 \right)=2$…
    Học bài này
  28. Bài 47. Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa $f'\left( x \right)=\left( x+1 \right)e^{x-f\left( x \right)}$…
    Học bài này
  29. Bài 49. Giả sử $f(x)$ là hàm có đạo hàm liên tục trên $\left( 0;\pi \right)$ và $f'(x)\sin x=x+f(x)\cos x,\,\forall x\in \left( 0;\pi \right)$…
    Học bài này
  30. Bài 53. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\left( -\sqrt{2};\sqrt{2} \right)\setminus \left\{ \begin{array}{l} 0 \end{array} \right\}$…
    Học bài này
  31. Bài 54. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $f'\left( x \right)=f\left( x \right)+e^{x} .\cos 2021x$…
    Học bài này
  32. Bài 55. Cho hàm số $f(x)$ liên tục và luôn nhận giá trị dương trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f(0)=e^2$ và $2\sin 2x\left[f(x)+e^{\cos 2x}\sqrt{f(x)}\right]+f'(x)=0$…
    Học bài này
  33. Bài 56. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f'(x)+xf(x)=2xe^{-x^2}$ và $f(0)=-2$…
    Học bài này
  34. Bài 57. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $(0;+\infty)$ thỏa mãn $3xf(x)-x^2f'(x)=2f^2(x)$, với $f(x)\ne0$, $\forall x\in(0;+\infty)$…
    Học bài này
  35. Bài 60. Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và có đạo hàm trên $\mathbb{R}\setminus\{-1;0\}$ thỏa mãn $f(1)=\frac12$…
    Học bài này

Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số · 5 bài

  1. Bài 7. Cho $ F\left ( { x } \right ) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left ( { x } \right )={ \rm{ e } } ^ { \sqrt[3] { x } } $…
    Học bài này
  2. Bài 8. $ F\left ( { x } \right ) $ là một nguyên hàm của hàm $ \left ( { x-1 } \right )\sqrt[] { x ^ { 2 } -2x-3 } $…
    Học bài này
  3. Bài 9. Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { 2 } { sinx } $ . Biết $ F\left ( { x } \right ) $ là m…
    Học bài này
  4. Bài 12. Cho $ F(x) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f(x)=sin ^ { 3 } x.cosx $ và $ F(0)=\pi $ . Tìm $ F\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right ) $
    Học bài này
  5. Bài 13. Cho $ F(x) $ là một nguyên hàm của $ f(x)=\frac { 1 } { 2\sqrt[] { x(x+3) } } $ trên $ \left ( { 0;+\infty } \right ) $…
    Học bài này

Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần ∫u dv = uv − ∫v du · 7 bài

  1. Bài 4. Giả sử $ F\left ( { x } \right )=\left ( { ax ^ { 2 } +bx+c } \right )e ^ { x } $ là một nguyên hàm…
    Học bài này
  2. Bài 5. Cho $ F\left ( { x } \right )=\left ( { ax ^ { 2 } +bx-c } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } $ là một n…
    Học bài này
  3. Bài 42. Cho $F\left( x \right)=\left( x^{2} +2x \right){ \rm{ e } }^{x}$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right).{ \rm{ e } }^{2x}$…
    Học bài này
  4. Bài 44. Cho $F\left( x \right)=x^{2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right).{ \rm{ e } }^{x}$. Kh…
    Học bài này
  5. Bài 48. Giả sử $f\left( x \right)$ là một hàm số có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết rằng $G\left( x \right)=x^{3}$…
    Học bài này
  6. Bài 51. Cho hàm số $f\left( x \right)=x\sqrt{x^{2} +1 }$. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $g\left( x \right)=x.f'\left( x \right)$…
    Học bài này
  7. Bài 52. Cho $F\left( x \right)=\frac{x^{3}}{3}$ là một nguyên hàm của $\frac{f\left( x \right)}{x}$. Biết $f\left( x \right)$…
    Học bài này