Bài tập nâng cao · Bài 9
Dạng 1. Phương pháp tính nguyên hàm
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 9
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { 2 } { sinx } $ . Biết $ F\left ( { x } \right ) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ thỏa mãn $ F\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right )=0 $ . Giá trị lớn nhất của hàm số $ g\left ( { x } \right )=e ^ { F\left ( { x } \right ) } $ trên đoạn $ \left[ \frac { \pi } { 6 };\frac { 2\pi } { 3 } \right] $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1:
Ta có: $ F(x)=\int\frac{2\,dx}{\sin x}=\int\frac{2\,dx}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}=\int\frac{dx}{\cos^2\frac{x}{2}\tan\frac{x}{2}}=2\int\frac{d(\tan\frac{x}{2})}{\tan\frac{x}{2}}=2\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|+C $ . $ \Rightarrow F(x)=2\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|+C $ .
Mà $ F\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right )=0\Leftrightarrow 2ln\left | { tan\frac { \pi } { 4 } } \right |+C=0\Rightarrow C=0\Rightarrow F\left ( { x } \right )=2ln\left | { tan\frac { x } { 2 } } \right |=ln\left ( { tan\frac { x } { 2 } } \right ) ^ { 2 } $ . $ \Rightarrow g\left ( { x } \right )=e ^ { F\left ( { x } \right ) } =tan ^ { 2 } \frac { x } { 2 }\Rightarrow g'\left ( { x } \right )=tan\frac { x } { 2 }.\left ( { 1+tan ^ { 2 } \frac { x } { 2 } } \right )>0,\forall x\in \left[ \frac { \pi } { 6 };\frac { 2\pi } { 3 } \right] $ .
Do đó hàm số $ g\left ( { x } \right ) $ đồng biến trên $ \left[ \frac { \pi } { 6 };\frac { 2\pi } { 3 } \right] $ nên $ \mathop { max } \limits_{ \left[ \frac { \pi } { 6 };\frac { 2\pi } { 3 } \right] } g\left ( { x } \right )=g\left ( { \frac { 2\pi } { 3 } } \right )=\left ( { tan\frac { \pi } { 3 } } \right ) ^ { 2 } =3 $ .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $ g\left ( { x } \right ) $ trên đoạn $ \left[ \frac { \pi } { 6 };\frac { 2\pi } { 3 } \right] $ bằng $ 3 $ .
Cách 2:
Ta có $ g'\left ( { x } \right )=F'\left ( { x } \right ).e ^ { F\left ( { x } \right ) } =\frac { 2 } { sinx }.e ^ { F\left ( { x } \right ) } >0,\forall x\in \left[ \frac { \pi } { 6 };\frac { 2\pi } { 3 } \right]. $ $ \Rightarrow \mathop { max } \limits_{ \left[ \frac { \pi } { 6 };\frac { 2\pi } { 3 } \right] } g\left ( { x } \right )=g\left ( { \frac { 2\pi } { 3 } } \right )=e ^ { F\left ( { \frac { 2\pi } { 3 } } \right ) } =e ^ { F\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right )+\int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \frac { 2\pi } { 3 } } { \frac { 2dx } { sinx } } } =3. $ Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $ g\left ( { x } \right ) $ trên đoạn $ \left[ \frac { \pi } { 6 };\frac { 2\pi } { 3 } \right] $ bằng $ 3 $ .
Ta có: $ F(x)=\int\frac{2\,dx}{\sin x}=\int\frac{2\,dx}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}=\int\frac{dx}{\cos^2\frac{x}{2}\tan\frac{x}{2}}=2\int\frac{d(\tan\frac{x}{2})}{\tan\frac{x}{2}}=2\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|+C $ . $ \Rightarrow F(x)=2\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|+C $ .
Mà $ F\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right )=0\Leftrightarrow 2ln\left | { tan\frac { \pi } { 4 } } \right |+C=0\Rightarrow C=0\Rightarrow F\left ( { x } \right )=2ln\left | { tan\frac { x } { 2 } } \right |=ln\left ( { tan\frac { x } { 2 } } \right ) ^ { 2 } $ . $ \Rightarrow g\left ( { x } \right )=e ^ { F\left ( { x } \right ) } =tan ^ { 2 } \frac { x } { 2 }\Rightarrow g'\left ( { x } \right )=tan\frac { x } { 2 }.\left ( { 1+tan ^ { 2 } \frac { x } { 2 } } \right )>0,\forall x\in \left[ \frac { \pi } { 6 };\frac { 2\pi } { 3 } \right] $ .
Do đó hàm số $ g\left ( { x } \right ) $ đồng biến trên $ \left[ \frac { \pi } { 6 };\frac { 2\pi } { 3 } \right] $ nên $ \mathop { max } \limits_{ \left[ \frac { \pi } { 6 };\frac { 2\pi } { 3 } \right] } g\left ( { x } \right )=g\left ( { \frac { 2\pi } { 3 } } \right )=\left ( { tan\frac { \pi } { 3 } } \right ) ^ { 2 } =3 $ .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $ g\left ( { x } \right ) $ trên đoạn $ \left[ \frac { \pi } { 6 };\frac { 2\pi } { 3 } \right] $ bằng $ 3 $ .
Cách 2:
Ta có $ g'\left ( { x } \right )=F'\left ( { x } \right ).e ^ { F\left ( { x } \right ) } =\frac { 2 } { sinx }.e ^ { F\left ( { x } \right ) } >0,\forall x\in \left[ \frac { \pi } { 6 };\frac { 2\pi } { 3 } \right]. $ $ \Rightarrow \mathop { max } \limits_{ \left[ \frac { \pi } { 6 };\frac { 2\pi } { 3 } \right] } g\left ( { x } \right )=g\left ( { \frac { 2\pi } { 3 } } \right )=e ^ { F\left ( { \frac { 2\pi } { 3 } } \right ) } =e ^ { F\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right )+\int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \frac { 2\pi } { 3 } } { \frac { 2dx } { sinx } } } =3. $ Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $ g\left ( { x } \right ) $ trên đoạn $ \left[ \frac { \pi } { 6 };\frac { 2\pi } { 3 } \right] $ bằng $ 3 $ .