Bài tập nâng cao · Bài 8
Dạng 1. Phương pháp tính nguyên hàm
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 8
$ F\left ( { x } \right ) $ là một nguyên hàm của hàm $ \left ( { x-1 } \right )\sqrt[] { x ^ { 2 } -2x-3 } $ . Biết $ F\left ( { -2 } \right )=F\left ( { 4 } \right )-1=\frac { 5\sqrt[] { 5 } } { 3 } $ và $ F\left ( { -3 } \right )+F\left ( { 5 } \right )=a\sqrt[] { 3 }+b;\,\,a,b\in \mathbb{N} $ . Giá trị $ a+b $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ x ^ { 2 } -2x-3\geq 0\Leftrightarrow \left[ x\leq -1 \\ x\geq 3 \right. $ Ta có $ F\left ( { x } \right )=\int { \left ( { x-1 } \right )\sqrt[] { x ^ { 2 } -2x-3 }dx } $ .
Đặt $ t=\sqrt[] { x ^ { 2 } -2x-3 }\Rightarrow t ^ { 2 } =x ^ { 2 } -2x-3\Rightarrow tdt=\left ( { x-1 } \right )dx $ .
Do đó $ F\left ( { x } \right )=\int { \left ( { x-1 } \right )\sqrt[] { x ^ { 2 } -2x-3 }dx }=\int { t ^ { 2 } dt }=\frac { t ^ { 3 } } { 3 }+C=\left \{ \begin{array}{l} \frac { 1 } { 3 }\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } -2x-3 } } \right ) ^ { 3 } +C_{ 1 } ,x\leq -1 \\ \frac { 1 } { 3 }\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } -2x-3 } } \right ) ^ { 3 } +C_{ 2 } ,x\geq 3 \end{array} \right. $ .
Ta có $ F\left ( { -2 } \right )=F\left ( { 4 } \right )-1=\frac { 5\sqrt[] { 5 } } { 3 } $ nên $ \left \{ \begin{array}{l} \frac { 1 } { 3 }\left ( { \sqrt[] { \left ( { -2 } \right ) ^ { 2 } -2.\left ( { -2 } \right )-3 } } \right ) ^ { 3 } +C_{ 1 } =\frac { 5\sqrt[] { 5 } } { 3 } \\ \frac { 1 } { 3 }\left ( { \sqrt[] { 4 ^ { 2 } -2.4-3 } } \right ) ^ { 3 } +C_{ 2 } =\frac { 5\sqrt[] { 5 } } { 3 }+1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} C_{ 1 } =0 \\ C_{ 2 } =1 \end{array} \right.\Rightarrow F\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} \frac { 1 } { 3 }\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } -2x-3 } } \right ) ^ { 3 },x\leq -1 \\ \frac { 1 } { 3 }\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } -2x-3 } } \right ) ^ { 3 } +1,x\geq 3 \end{array} \right. $ .
Khi đó $ F\left ( { -3 } \right )+F\left ( { 5 } \right )=\frac { 1 } { 3 }\left ( { \sqrt[] { \left ( { -3 } \right ) ^ { 2 } -2.\left ( { -3 } \right )-3 } } \right ) ^ { 3 } +\frac { 1 } { 3 }\left ( { \sqrt[] { 5 ^ { 2 } -2.5-3 } } \right ) ^ { 3 } +1=16\sqrt[] { 3 }+1 $ .
Do đó $ a=16,b=1\Rightarrow a+b=17 $ .
Đặt $ t=\sqrt[] { x ^ { 2 } -2x-3 }\Rightarrow t ^ { 2 } =x ^ { 2 } -2x-3\Rightarrow tdt=\left ( { x-1 } \right )dx $ .
Do đó $ F\left ( { x } \right )=\int { \left ( { x-1 } \right )\sqrt[] { x ^ { 2 } -2x-3 }dx }=\int { t ^ { 2 } dt }=\frac { t ^ { 3 } } { 3 }+C=\left \{ \begin{array}{l} \frac { 1 } { 3 }\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } -2x-3 } } \right ) ^ { 3 } +C_{ 1 } ,x\leq -1 \\ \frac { 1 } { 3 }\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } -2x-3 } } \right ) ^ { 3 } +C_{ 2 } ,x\geq 3 \end{array} \right. $ .
Ta có $ F\left ( { -2 } \right )=F\left ( { 4 } \right )-1=\frac { 5\sqrt[] { 5 } } { 3 } $ nên $ \left \{ \begin{array}{l} \frac { 1 } { 3 }\left ( { \sqrt[] { \left ( { -2 } \right ) ^ { 2 } -2.\left ( { -2 } \right )-3 } } \right ) ^ { 3 } +C_{ 1 } =\frac { 5\sqrt[] { 5 } } { 3 } \\ \frac { 1 } { 3 }\left ( { \sqrt[] { 4 ^ { 2 } -2.4-3 } } \right ) ^ { 3 } +C_{ 2 } =\frac { 5\sqrt[] { 5 } } { 3 }+1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} C_{ 1 } =0 \\ C_{ 2 } =1 \end{array} \right.\Rightarrow F\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} \frac { 1 } { 3 }\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } -2x-3 } } \right ) ^ { 3 },x\leq -1 \\ \frac { 1 } { 3 }\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } -2x-3 } } \right ) ^ { 3 } +1,x\geq 3 \end{array} \right. $ .
Khi đó $ F\left ( { -3 } \right )+F\left ( { 5 } \right )=\frac { 1 } { 3 }\left ( { \sqrt[] { \left ( { -3 } \right ) ^ { 2 } -2.\left ( { -3 } \right )-3 } } \right ) ^ { 3 } +\frac { 1 } { 3 }\left ( { \sqrt[] { 5 ^ { 2 } -2.5-3 } } \right ) ^ { 3 } +1=16\sqrt[] { 3 }+1 $ .
Do đó $ a=16,b=1\Rightarrow a+b=17 $ .