Cho $ F(x) $ là một nguyên hàm của $ f(x)=\frac { 1 } { 2\sqrt[] { x(x+3) } } $ trên $ \left ( { 0;+\infty } \right ) $ thỏa mãn $ F(1)=ln3 $ . Giá trị của $ e ^ { F(2021) } -e ^ { F(2020) } $ ?

Question

Dạng 1. Phương pháp tính nguyên hàm Cho $ F(x) $ là một nguyên hàm của $ f(x)=\frac { 1 } { 2\sqrt[] { x(x+3) } } $ trên $ \left ( { 0;+\infty } \right ) $ thỏa mãn $ F(1)=ln3 $ . Giá trị của $ e ^ { F(2021) } -e ^ { F(2020) } $ ?

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có $ F(x)=\int { \frac { 1 } { 2\sqrt[] { x(x+3) } }dx } $ Đặt $ t=\sqrt[] { x }+\sqrt[] { x+3 }\Rightarrow dt=\frac { 1 } { 2 }.\frac { \sqrt[] { x }+\sqrt[] { x+3 } } { \sqrt[] { x(x+3) } }dx\Rightarrow \frac { dt } { t }=\frac { 1 } { 2\sqrt[] { x(x+3) } }dx $ . $ \Rightarrow F(x)=ln\left | { \sqrt[] { x }+\sqrt[] { x+3 } } \right |+C $ . Mà $ F(1)=\ln 3\Rightarrow C=0 $ . Do đó $ \Rightarrow F(x)=ln\left | { \sqrt[] { x }+\sqrt[] { x+3 } } \right | $ . Vậy $ e ^ { F(2021) } -e ^ { F(2020) } =\sqrt[] { 2021 }+\sqrt[] { 2024 }-\sqrt[] { 2020 }-\sqrt[] { 2023 }\simeq 0,0222 $ .

Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 13