Bài tập nâng cao · Bài 14
Dạng 1. Phương pháp tính nguyên hàm
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 14
Cho hàm số $ F\left ( { x } \right ) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { 2cosx-1 } { sin ^ { 2 } x } $ trên khoảng $ \left ( { 0;\pi } \right ) $ . Biết
rằng giá trị lớn nhất của $ F\left ( { x } \right ) $ trên khoảng $ \left ( { 0;\pi } \right ) $ là $ \sqrt[] { 3 } $ . Tìm $ F\left ( { \frac { \pi } { 6 } } \right ) $
rằng giá trị lớn nhất của $ F\left ( { x } \right ) $ trên khoảng $ \left ( { 0;\pi } \right ) $ là $ \sqrt[] { 3 } $ . Tìm $ F\left ( { \frac { \pi } { 6 } } \right ) $
Xem lời giải
Lời giải
$ F\left ( { x } \right )=\int { \frac { 2cosx-1 } { sin ^ { 2 } x } }dx=\int { \frac { 2cosx } { sin ^ { 2 } x }dx-\int { \frac { 1 } { sin ^ { 2 } x }dx } } $ .
Ta có: $ \int { \frac { 2cosxdx } { sin ^ { 2 } x }=\frac { -2 } { sinx }+C_{ 1 } } $ , $ \int { \frac { -1 } { sin ^ { 2 } x }dx=cotx+C_{ 2 } } $ . $ \Rightarrow F\left ( { x } \right )=\frac { -2 } { sinx }+cotx+C $ .
Vì $ F\left ( { x } \right ) $ là nguyên hàm của $ f\left ( { x } \right ) $ $ \Rightarrow F'\left ( { x } \right )=f\left ( { x } \right )=\frac { 2cosx-1 } { sin ^ { 2 } x } $ .
Xét $ F'\left ( { x } \right )=0\Leftrightarrow \frac { 2cosx-1 } { sin ^ { 2 } x }=0\Leftrightarrow cosx=\frac { 1 } { 2 }\Leftrightarrow x=\frac { \pi } { 3 } $ (vì $ x\in \left ( { 0;\pi } \right ) $ ).
Bảng biến thiên:
$ \Rightarrow $ $ \mathop { max } \limits_{ \left ( { 0;\pi } \right ) } F\left ( { x } \right )=F\left ( { \frac { \pi } { 3 } } \right )=-\frac { 4 } { \sqrt[] { 3 } }+\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }+C=\sqrt[] { 3 }\Rightarrow C=2\sqrt[] { 3 } $ . $ \Rightarrow F\left ( { x } \right )=\frac { -2 } { sinx }+cotx+2\sqrt[] { 3 } $ . $ F\left ( { \frac { \pi } { 6 } } \right )=-4+\sqrt[] { 3 }+2\sqrt[] { 3 }=3\sqrt[] { 3 }-4 $ .
Ta có: $ \int { \frac { 2cosxdx } { sin ^ { 2 } x }=\frac { -2 } { sinx }+C_{ 1 } } $ , $ \int { \frac { -1 } { sin ^ { 2 } x }dx=cotx+C_{ 2 } } $ . $ \Rightarrow F\left ( { x } \right )=\frac { -2 } { sinx }+cotx+C $ .
Vì $ F\left ( { x } \right ) $ là nguyên hàm của $ f\left ( { x } \right ) $ $ \Rightarrow F'\left ( { x } \right )=f\left ( { x } \right )=\frac { 2cosx-1 } { sin ^ { 2 } x } $ .
Xét $ F'\left ( { x } \right )=0\Leftrightarrow \frac { 2cosx-1 } { sin ^ { 2 } x }=0\Leftrightarrow cosx=\frac { 1 } { 2 }\Leftrightarrow x=\frac { \pi } { 3 } $ (vì $ x\in \left ( { 0;\pi } \right ) $ ).
Bảng biến thiên:
$ \Rightarrow $ $ \mathop { max } \limits_{ \left ( { 0;\pi } \right ) } F\left ( { x } \right )=F\left ( { \frac { \pi } { 3 } } \right )=-\frac { 4 } { \sqrt[] { 3 } }+\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }+C=\sqrt[] { 3 }\Rightarrow C=2\sqrt[] { 3 } $ . $ \Rightarrow F\left ( { x } \right )=\frac { -2 } { sinx }+cotx+2\sqrt[] { 3 } $ . $ F\left ( { \frac { \pi } { 6 } } \right )=-4+\sqrt[] { 3 }+2\sqrt[] { 3 }=3\sqrt[] { 3 }-4 $ .