Bài tập nâng cao · Bài 15
Dạng 1. Phương pháp tính nguyên hàm
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 15
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=2\left | { x-1 } \right | $ . Gọi $ F\left ( { x } \right ) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ . Biết rằng $ F\left ( { 2 } \right )+F\left ( { 0 } \right )=5 $ . Giá trị của $ P=F\left ( { 3 } \right )+F\left ( { -2 } \right ) $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ f\left ( { x } \right )=2\left | { x-1 } \right |=\left \{ \begin{array}{l} 2x-2\,\,\,\,\,khi\,\,x\geq 1 \\ -2x+2\,\,khi\,\,\,x < 1 \end{array} \right. $ .
TH1: Nếu $ x\geq 1 $ .
Ta có $ F\left ( { x } \right )=\int { \left ( { 2x-2 } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ x } }\,\,=x ^ { 2 } -2x+C_{ 1 } } $ .
TH2: Nếu $ x < 1 $ .
Ta có $ F\left ( { x } \right )=\int { \left ( { -2x+2 } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ x } }\,\,=-x ^ { 2 } +2x+C_{ 2 } } $ .
Vì $ F\left ( { 2 } \right )+F\left ( { 0 } \right )=5\Rightarrow 2 ^ { 2 } -2.2+C_{ 1 } +C_{ 2 } =5\Leftrightarrow C_{ 1 } +C_{ 2 } =5 $ .
Ta có $ P=F\left ( { 3 } \right )+F\left ( { -2 } \right )=3 ^ { 2 } -2.3+C_{ 1 } -\left ( { -2 } \right ) ^ { 2 } +2.\left ( { -2 } \right )+C_{ 2 } =3-8+C_{ 1 } +C_{ 2 } =3-8+5=0 $ .
TH1: Nếu $ x\geq 1 $ .
Ta có $ F\left ( { x } \right )=\int { \left ( { 2x-2 } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ x } }\,\,=x ^ { 2 } -2x+C_{ 1 } } $ .
TH2: Nếu $ x < 1 $ .
Ta có $ F\left ( { x } \right )=\int { \left ( { -2x+2 } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ x } }\,\,=-x ^ { 2 } +2x+C_{ 2 } } $ .
Vì $ F\left ( { 2 } \right )+F\left ( { 0 } \right )=5\Rightarrow 2 ^ { 2 } -2.2+C_{ 1 } +C_{ 2 } =5\Leftrightarrow C_{ 1 } +C_{ 2 } =5 $ .
Ta có $ P=F\left ( { 3 } \right )+F\left ( { -2 } \right )=3 ^ { 2 } -2.3+C_{ 1 } -\left ( { -2 } \right ) ^ { 2 } +2.\left ( { -2 } \right )+C_{ 2 } =3-8+C_{ 1 } +C_{ 2 } =3-8+5=0 $ .