Bài tập nâng cao · Bài 46
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 46
Cho hàm số $F\left( x \right)=\left( x-1 \right)e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{f\left( x \right)}{e^{x} }$, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $\frac{f'\left( x \right)}{e^{2x} }$ là
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
$\frac{f\left( x \right)}{e^{x} }=F'\left( x \right)=e^{x} +\left( x-1 \right)e^{x} =xe^{x}$$\Rightarrow f\left( x \right)=xe^{2x}$$\Rightarrow f'\left( x \right)=e^{2x} +2xe^{2x}$$\Rightarrow \frac{f'\left( x \right)}{e^{2x} }=1+2x$.
Vậy $\Rightarrow \int { \frac{f'\left( x \right)}{e^{2x} }{ \rm{ d } }x }=\int { \left( 1+2x \right){ \rm{ d } }x }=x+x^{2} +C$.
$\frac{f\left( x \right)}{e^{x} }=F'\left( x \right)=e^{x} +\left( x-1 \right)e^{x} =xe^{x}$$\Rightarrow f\left( x \right)=xe^{2x}$$\Rightarrow f'\left( x \right)=e^{2x} +2xe^{2x}$$\Rightarrow \frac{f'\left( x \right)}{e^{2x} }=1+2x$.
Vậy $\Rightarrow \int { \frac{f'\left( x \right)}{e^{2x} }{ \rm{ d } }x }=\int { \left( 1+2x \right){ \rm{ d } }x }=x+x^{2} +C$.