Bài tập nâng cao · Bài 47
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 47
Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa $f'\left( x \right)=\left( x+1 \right)e^{x-f\left( x \right)}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Biết $f\left( 0 \right)=2$. Tính $f\left( 2 \right)$
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $f'\left( x \right)=\left( x+1 \right)e^{x-f\left( x \right)} \Leftrightarrow f'\left( x \right)e^{f\left( x \right)} =\left( x+1 \right)e^{x} \Leftrightarrow \left[ e^{f\left( x \right)} \right]'=\left( x+1 \right)e ^ { x} $.
Khi đó $e^{f\left( x \right)} =\int { \left( x+1 \right)e^{x} dx }$. Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u=x+1 \\ dv=e^{x} dx \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du=dx \\ v=e^{x} \end{array} \right.$
Suy ra $e^{f\left( x \right)} =\left( x+1 \right)e^{x} -\int { e^{x} dx }\Rightarrow e^{f\left( x \right)} =\left( x+1 \right)e^{x} -e^{x} +C=xe^{x} +C$.
Thay $x=0$, ta được $C=e^{f\left( 0 \right)} =e^{2} \Rightarrow e^{f\left( x \right)} =xe^{x} +e^{2}$.
Thay $x=2$, ta được $e^{f\left( 2 \right)} =3e^{2} \Rightarrow f\left( 2 \right)=\ln \left( 3e^{2} \right)=2+\ln 3$.
Khi đó $e^{f\left( x \right)} =\int { \left( x+1 \right)e^{x} dx }$. Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u=x+1 \\ dv=e^{x} dx \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du=dx \\ v=e^{x} \end{array} \right.$
Suy ra $e^{f\left( x \right)} =\left( x+1 \right)e^{x} -\int { e^{x} dx }\Rightarrow e^{f\left( x \right)} =\left( x+1 \right)e^{x} -e^{x} +C=xe^{x} +C$.
Thay $x=0$, ta được $C=e^{f\left( 0 \right)} =e^{2} \Rightarrow e^{f\left( x \right)} =xe^{x} +e^{2}$.
Thay $x=2$, ta được $e^{f\left( 2 \right)} =3e^{2} \Rightarrow f\left( 2 \right)=\ln \left( 3e^{2} \right)=2+\ln 3$.