Bài tập nâng cao · Bài 48
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 48
Giả sử $f\left( x \right)$ là một hàm số có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết rằng $G\left( x \right)=x^{3}$ là một nguyên hàm của $g\left( x \right)=e^{-2x} f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$. Họ tất cả các nguyên hàm của $e^{-2x} f'\left( x \right)$ là
Xem lời giải
Lời giải
$G\left( x \right)=x^{3}$ là một nguyên hàm của $g\left( x \right)=e^{-2x} f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$, nên $e^{-2x} f\left( x \right)=3x^{2}$.
Xét $I=\int { e^{-2x} f'\left( x \right) }{ \rm{ d } }x$.
Đặt $u=e^{-2x} \Rightarrow { \rm{ d } }u=-2e^{-2x} { \rm{ d } }x$ và ${ \rm{ d } }v=f'\left( x \right){ \rm{ d } }x\Rightarrow v=f\left( x \right)$.
Khi đó: $I=e^{-2x} f\left( x \right)+2\int { e^{-2x} f\left( x \right){ \rm{ d } }x }=3x^{2} +2x^{3} +C.$
Vậy $I=2x^{3} +3x^{2} +C$.
Xét $I=\int { e^{-2x} f'\left( x \right) }{ \rm{ d } }x$.
Đặt $u=e^{-2x} \Rightarrow { \rm{ d } }u=-2e^{-2x} { \rm{ d } }x$ và ${ \rm{ d } }v=f'\left( x \right){ \rm{ d } }x\Rightarrow v=f\left( x \right)$.
Khi đó: $I=e^{-2x} f\left( x \right)+2\int { e^{-2x} f\left( x \right){ \rm{ d } }x }=3x^{2} +2x^{3} +C.$
Vậy $I=2x^{3} +3x^{2} +C$.