Bài tập nâng cao · Bài 49
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 49
Giả sử $f(x)$ là hàm có đạo hàm liên tục trên $\left( 0;\pi \right)$ và $f'(x)\sin x=x+f(x)\cos x,\,\forall x\in \left( 0;\pi \right)$. Biết $f(\frac{\pi}{2})=1,\,\,f(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{12}(a+b\ln 2+c\pi \sqrt{3})$, với $a,\,b,\,c$ là các số nguyên. Giá trị của $a+b+c$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $f'(x)\sin x=x+f(x)\cos x\Leftrightarrow f'(x)\sin x-f(x)\cos x=x \\ \Leftrightarrow \frac{f'(x)\sin x-f(x)\cos x}{\sin^{2} x }=\frac{x}{\sin^{2} x }\Leftrightarrow \left[ \frac{f(x)}{\sin x} \right]'=\frac{x}{\sin^{2} x } $
$\Rightarrow \frac{f(x)}{\sin x}=\int { \frac{x}{\sin^{2} x }dx=-x\cot x+\int { \cot xdx=-x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C } }$.
Hay $\frac{f(x)}{\sin x}=-x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C$.
$f\left( \frac{\pi}{2} \right)=1\Rightarrow \frac{1}{\sin \frac { \pi} { 2 } }=-\frac{\pi}{2}\cot \frac{\pi}{2}+\ln \left| \sin \frac{\pi}{2} \right|+C\Leftrightarrow C=1$.
$\Rightarrow \frac{f(x)}{\sin x}=-x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+1$.
Do đó $\Rightarrow \frac{f(\frac { \pi}{6}) } { \sin \frac{\pi}{6} }=-\frac{\pi}{6}\cot \frac{\pi}{6}+\ln \left| \sin \frac{\pi}{6} \right|+1\Rightarrow f(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{12}\left( 6-6\ln 2-\pi \sqrt{3} \right)$.
$\Rightarrow a=6,\,b=-6,\,c=-1$. $a+b+c=-1$.
$\Rightarrow \frac{f(x)}{\sin x}=\int { \frac{x}{\sin^{2} x }dx=-x\cot x+\int { \cot xdx=-x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C } }$.
Hay $\frac{f(x)}{\sin x}=-x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C$.
$f\left( \frac{\pi}{2} \right)=1\Rightarrow \frac{1}{\sin \frac { \pi} { 2 } }=-\frac{\pi}{2}\cot \frac{\pi}{2}+\ln \left| \sin \frac{\pi}{2} \right|+C\Leftrightarrow C=1$.
$\Rightarrow \frac{f(x)}{\sin x}=-x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+1$.
Do đó $\Rightarrow \frac{f(\frac { \pi}{6}) } { \sin \frac{\pi}{6} }=-\frac{\pi}{6}\cot \frac{\pi}{6}+\ln \left| \sin \frac{\pi}{6} \right|+1\Rightarrow f(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{12}\left( 6-6\ln 2-\pi \sqrt{3} \right)$.
$\Rightarrow a=6,\,b=-6,\,c=-1$. $a+b+c=-1$.