Bài tập nâng cao · Bài 50
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 50
Cho $F\left( x \right)=x^{\pi}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right).\pi^{x}$. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f'\left( x \right).\pi^{x}$
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $F'\left( x \right)=f\left( x \right).\pi^{x} \Rightarrow \pi .x^{\pi -1} =f\left( x \right).\pi^{x} \Leftrightarrow f\left( x \right)=\pi^{1-x} .x^{\pi -1}$.
Khi đó $f'\left( x \right)=-\pi^{1-x} .x^{\pi -1} .\ln \pi +\left( \pi -1 \right).\pi^{1-x} .x^{\pi -2}$.
Suy ra $f'\left( x \right).\pi^{x} =-\pi .x^{\pi -1} .\ln \pi +\left( \pi -1 \right)\pi .x^{\pi -2}$
Nên $\int { f'\left( x \right).\pi^{x} dx }=\int { \left[ -\pi .x^{\pi -1} .\ln \pi +\left( \pi -1 \right)\pi .x^{\pi -2} \right]dx }=-x^{\pi} \ln \pi +\pi x^{\pi -1} +C$.
Khi đó $f'\left( x \right)=-\pi^{1-x} .x^{\pi -1} .\ln \pi +\left( \pi -1 \right).\pi^{1-x} .x^{\pi -2}$.
Suy ra $f'\left( x \right).\pi^{x} =-\pi .x^{\pi -1} .\ln \pi +\left( \pi -1 \right)\pi .x^{\pi -2}$
Nên $\int { f'\left( x \right).\pi^{x} dx }=\int { \left[ -\pi .x^{\pi -1} .\ln \pi +\left( \pi -1 \right)\pi .x^{\pi -2} \right]dx }=-x^{\pi} \ln \pi +\pi x^{\pi -1} +C$.