Bài tập nâng cao · Bài 51
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 51
Cho hàm số $f\left( x \right)=x\sqrt{x^{2} +1 }$. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $g\left( x \right)=x.f'\left( x \right)$ là
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $\int { g\left( x \right)dx }=\int { xf'\left( x \right)dx }$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} u=x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ dv=f'\left( x \right)dx \\ \end{array} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} du=dx \\ v=f\left( x \right) \\ \end{array} \end{array} \right.$
$\int { g\left( x \right)dx }=\int { xf'\left( x \right)dx }=xf\left( x \right)-\int { f\left( x \right)dx }=x^{2} \sqrt{x^{2} +1 }-\int { x\sqrt{x^{2} +1 }dx }$
Tính $I=\int { x\sqrt{x^{2} +1 }dx }$
$\sqrt{x^{2} +1 }=t\Rightarrow x^{2} +1=t^{2} \Rightarrow xdx=tdt$
Khi đó: $I=\int { t^{2} dt=\frac{t^{3}}{3}+C }\Rightarrow \frac{\sqrt{\left( x^{2} +1 \right)^{3} }}{3}+C$
$\int { g\left( x \right)dx=x^{2} \sqrt{x^{2} +1 }-\frac{1}{3}\left( x^{2} +1 \right)\sqrt{x^{2} +1 }+C }=\frac{2}{3}\left( x^{2} +1 \right)\sqrt{x^{2} +1 }-\sqrt{x^{2} +1 }+C.$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} u=x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ dv=f'\left( x \right)dx \\ \end{array} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} du=dx \\ v=f\left( x \right) \\ \end{array} \end{array} \right.$
$\int { g\left( x \right)dx }=\int { xf'\left( x \right)dx }=xf\left( x \right)-\int { f\left( x \right)dx }=x^{2} \sqrt{x^{2} +1 }-\int { x\sqrt{x^{2} +1 }dx }$
Tính $I=\int { x\sqrt{x^{2} +1 }dx }$
$\sqrt{x^{2} +1 }=t\Rightarrow x^{2} +1=t^{2} \Rightarrow xdx=tdt$
Khi đó: $I=\int { t^{2} dt=\frac{t^{3}}{3}+C }\Rightarrow \frac{\sqrt{\left( x^{2} +1 \right)^{3} }}{3}+C$
$\int { g\left( x \right)dx=x^{2} \sqrt{x^{2} +1 }-\frac{1}{3}\left( x^{2} +1 \right)\sqrt{x^{2} +1 }+C }=\frac{2}{3}\left( x^{2} +1 \right)\sqrt{x^{2} +1 }-\sqrt{x^{2} +1 }+C.$