Bài tập nâng cao · Bài 52
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 52
Cho $F\left( x \right)=\frac{x^{3}}{3}$ là một nguyên hàm của $\frac{f\left( x \right)}{x}$. Biết $f\left( x \right)$ có đạo hàm và xác định với mọi $x\neq 0$. Tính $\int { f'\left( x \right)e^{x} { \rm{ d } }x }$.
Xem lời giải
Lời giải
Theo bài, $F\left( x \right)=\int { \frac{f\left( x \right)}{x}{ \rm{ d } }x\Leftrightarrow F'\left( x \right)=\frac{f\left( x \right)}{x}\Leftrightarrow f\left( x \right)=x^{3} }\Rightarrow f'\left( x \right)=3x^{2}$.
Khi đó, $\int { f'\left( x \right)e^{x} { \rm{ d } }x }=3\int { x^{2} e^{x} { \rm{ d } }x }=3x^{2} e^{x} -6\int { xe^{x} { \rm{ d } }x=3x^{2} e^{x} -6xe^{x} +6\int { e^{x} { \rm{ d } }x } }$
$=3x^{2} e^{x} -6xe^{x} +6e^{x} +C$.
Vậy $\int { f'\left( x \right)e^{x} { \rm{ d } }x }=3x^{2} e^{x} -6xe^{x} +6e^{x} +C$.
Khi đó, $\int { f'\left( x \right)e^{x} { \rm{ d } }x }=3\int { x^{2} e^{x} { \rm{ d } }x }=3x^{2} e^{x} -6\int { xe^{x} { \rm{ d } }x=3x^{2} e^{x} -6xe^{x} +6\int { e^{x} { \rm{ d } }x } }$
$=3x^{2} e^{x} -6xe^{x} +6e^{x} +C$.
Vậy $\int { f'\left( x \right)e^{x} { \rm{ d } }x }=3x^{2} e^{x} -6xe^{x} +6e^{x} +C$.