Bài tập nâng cao · Bài 53
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 53
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\left( -\sqrt{2};\sqrt{2} \right)\setminus \left\{ \begin{array}{l} 0 \end{array} \right\}$, thỏa mãn $f(1)=0$ và $f'(x)+x\left( e^{f(x)} +2 \right)+\frac{x}{e^{f(x)} }=0$. Giá trị của $f\left( \frac{1}{2} \right)$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
$f'(x)+x\left(e^{f(x)}+2\right)+\frac{x}{e^{f(x)}}=0\Leftrightarrow f'(x)e^{f(x)}+xe^{f(x)}\left(e^{f(x)}+2\right)+x=0$
$\Leftrightarrow f'(x)e^{f(x)}+x\left(e^{f(x)}+1\right)^2=0\Leftrightarrow\frac{-f'(x)e^{f(x)}}{\left(e^{f(x)}+1\right)^2}=x$
$\Leftrightarrow\int\frac{-f'(x)e^{f(x)}}{\left(e^{f(x)}+1\right)^2}dx=\int xdx\Leftrightarrow\int\frac{-d\left[e^{f(x)}\right]}{\left(e^{f(x)}+1\right)^2}=\int xdx\Leftrightarrow\frac1{e^{f(x)}+1}=\frac{x^2}{2}+C$ (1).
Trong (1) cho $x=1\Rightarrow\frac1{e^{f(1)}+1}=\frac12+C\Rightarrow C=0$. Suy ra $\frac1{e^{f(x)}+1}=\frac{x^2}{2}$ (2).
Trong (2) cho $x=\frac12\Rightarrow\frac1{e^{f\left(\frac12\right)}+1}=\frac18\Rightarrow f\left(\frac12\right)=\ln7$.
$\Leftrightarrow f'(x)e^{f(x)}+x\left(e^{f(x)}+1\right)^2=0\Leftrightarrow\frac{-f'(x)e^{f(x)}}{\left(e^{f(x)}+1\right)^2}=x$
$\Leftrightarrow\int\frac{-f'(x)e^{f(x)}}{\left(e^{f(x)}+1\right)^2}dx=\int xdx\Leftrightarrow\int\frac{-d\left[e^{f(x)}\right]}{\left(e^{f(x)}+1\right)^2}=\int xdx\Leftrightarrow\frac1{e^{f(x)}+1}=\frac{x^2}{2}+C$ (1).
Trong (1) cho $x=1\Rightarrow\frac1{e^{f(1)}+1}=\frac12+C\Rightarrow C=0$. Suy ra $\frac1{e^{f(x)}+1}=\frac{x^2}{2}$ (2).
Trong (2) cho $x=\frac12\Rightarrow\frac1{e^{f\left(\frac12\right)}+1}=\frac18\Rightarrow f\left(\frac12\right)=\ln7$.