Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $f'\left( x \right)=f\left( x \right)+e^{x} .\cos 2021x$ và $f\left( 0 \right)=0.$ Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn $[-1;1]$?

Question

Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $f'\left( x \right)=f\left( x \right)+e^{x} .\cos 2021x$ và $f\left( 0 \right)=0.$ Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn $[-1;1]$?

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: $f'\left( x \right)=f\left( x \right)+e^{x} .\cos 2021x\Leftrightarrow f'\left( x \right)-f\left( x \right)=e^{x} .\cos 2021x\Leftrightarrow e^{-x} f'\left( x \right)-e^{-x} f\left( x \right)=\cos 2021x$ $\Leftrightarrow \left[ e^{-x} f\left( x \right) \right]'=\cos 2021x$. Ta có $\int { \left[ e^{-x} f\left( x \right) \right]' dx=\int { \cos 2021x }dx\Leftrightarrow e^{-x} f\left( x \right)=\frac{\sin 2021x}{2021}+C }$. Do $f\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0.$ Vậy $f\left( x \right)=\frac{\sin 2021x}{2021}e^{x}$ Ta có $f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \frac{\sin 2021x}{2021}e^{x} =0\Leftrightarrow \sin 2021x=0\Leftrightarrow 2021x=k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{2021}\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ $x\in \left[ -1;1 \right]\Leftrightarrow -1\leq \frac{k\pi}{2021}\leq 1\Leftrightarrow -\frac{2021}{\pi}\leq k\leq \frac{2021}{\pi}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\Leftrightarrow k\in \left[ -643;643 \right]\cap \mathbb{Z}$. Vậy đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại $1287$ điểm có hoành độ thuộc đoạn $[-1;1]$.

Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 54