Bài tập nâng cao · Bài 55
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 55
Cho hàm số $f(x)$ liên tục và luôn nhận giá trị dương trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f(0)=e^2$ và $2\sin 2x\left[f(x)+e^{\cos 2x}\sqrt{f(x)}\right]+f'(x)=0$, $\forall x\in\mathbb{R}$. Khi đó $f\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ bằng?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $2\sin 2x\left[f(x)+e^{\cos 2x}\sqrt{f(x)}\right]+f'(x)=0\Leftrightarrow f'(x)+2\sin 2x\,f(x)=-2\sin 2x\,e^{\cos^2x-\sin^2x}\sqrt{f(x)}$.
$\Leftrightarrow e^{\sin^2x}\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}+\sin 2x\,e^{\sin^2x}\sqrt{f(x)}=-\sin 2x\,e^{\cos^2x}\Leftrightarrow\left(e^{\sin^2x}\sqrt{f(x)}\right)'=\left(e^{\cos^2x}\right)'$.
$\Leftrightarrow e^{\sin^2x}\sqrt{f(x)}=e^{\cos^2x}+C$.
Mà $f(0)=e^2$ nên $e^0\sqrt{f(0)}=e^1+C\Leftrightarrow C=0\Rightarrow f(x)=e^{2\cos 2x}$.
Khi đó $f\left(\frac{2\pi}{3}\right)\approx0,37$.
$\Leftrightarrow e^{\sin^2x}\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}+\sin 2x\,e^{\sin^2x}\sqrt{f(x)}=-\sin 2x\,e^{\cos^2x}\Leftrightarrow\left(e^{\sin^2x}\sqrt{f(x)}\right)'=\left(e^{\cos^2x}\right)'$.
$\Leftrightarrow e^{\sin^2x}\sqrt{f(x)}=e^{\cos^2x}+C$.
Mà $f(0)=e^2$ nên $e^0\sqrt{f(0)}=e^1+C\Leftrightarrow C=0\Rightarrow f(x)=e^{2\cos 2x}$.
Khi đó $f\left(\frac{2\pi}{3}\right)\approx0,37$.