Bài tập nâng cao · Bài 56
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 56
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f'(x)+xf(x)=2xe^{-x^2}$ và $f(0)=-2$. Tính $f(1)$.
Xem lời giải
Lời giải
Xét: $f'(x)+xf(x)=2xe^{-x^2}$.
Nhân 2 vế cho $e^{\frac{x^2}{2}}$.
$\Rightarrow e^{\frac{x^2}{2}}f'(x)+e^{\frac{x^2}{2}}xf(x)=e^{\frac{x^2}{2}}2xe^{-x^2}$.
$\Leftrightarrow\left(e^{\frac{x^2}{2}}f(x)\right)'=2xe^{-\frac{x^2}{2}}$.
$\Leftrightarrow\int\left(e^{\frac{x^2}{2}}f(x)\right)'\,dx=\int2xe^{-\frac{x^2}{2}}\,dx$ (*).
Xét: $I=\int2xe^{-\frac{x^2}{2}}\,dx$.
Đặt $u=e^{-\frac{x^2}{2}}\Rightarrow du=-xe^{-\frac{x^2}{2}}dx$.
$\Rightarrow I=\int2xe^{-\frac{x^2}{2}}\,dx=-2\int du=-2u+C=-2e^{-\frac{x^2}{2}}+C$.
(*) $\Leftrightarrow e^{\frac{x^2}{2}}f(x)=-2e^{-\frac{x^2}{2}}+C$.
Với $f(0)=-2\Rightarrow e^0f(0)=-2e^0+C\Leftrightarrow-2=-2+C\Leftrightarrow C=0$.
Với $x=1\Rightarrow e^{\frac12}f(1)=-2e^{-\frac12}$.
$\Leftrightarrow f(1)=\frac{-2e^{-\frac12}}{e^{\frac12}}=-\frac2e$.
Nhân 2 vế cho $e^{\frac{x^2}{2}}$.
$\Rightarrow e^{\frac{x^2}{2}}f'(x)+e^{\frac{x^2}{2}}xf(x)=e^{\frac{x^2}{2}}2xe^{-x^2}$.
$\Leftrightarrow\left(e^{\frac{x^2}{2}}f(x)\right)'=2xe^{-\frac{x^2}{2}}$.
$\Leftrightarrow\int\left(e^{\frac{x^2}{2}}f(x)\right)'\,dx=\int2xe^{-\frac{x^2}{2}}\,dx$ (*).
Xét: $I=\int2xe^{-\frac{x^2}{2}}\,dx$.
Đặt $u=e^{-\frac{x^2}{2}}\Rightarrow du=-xe^{-\frac{x^2}{2}}dx$.
$\Rightarrow I=\int2xe^{-\frac{x^2}{2}}\,dx=-2\int du=-2u+C=-2e^{-\frac{x^2}{2}}+C$.
(*) $\Leftrightarrow e^{\frac{x^2}{2}}f(x)=-2e^{-\frac{x^2}{2}}+C$.
Với $f(0)=-2\Rightarrow e^0f(0)=-2e^0+C\Leftrightarrow-2=-2+C\Leftrightarrow C=0$.
Với $x=1\Rightarrow e^{\frac12}f(1)=-2e^{-\frac12}$.
$\Leftrightarrow f(1)=\frac{-2e^{-\frac12}}{e^{\frac12}}=-\frac2e$.