Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $(0;+\infty)$ thỏa mãn $3xf(x)-x^2f'(x)=2f^2(x)$, với $f(x)
e0$, $\forall x\in(0;+\infty)$ và $f(1)=\frac13$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[1;2]$, tính $M+m$?

Question

Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $(0;+\infty)$ thỏa mãn $3xf(x)-x^2f'(x)=2f^2(x)$, với $f(x)
e0$, $\forall x\in(0;+\infty)$ và $f(1)=\frac13$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[1;2]$, tính $M+m$?

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có $3xf(x)-x^2f'(x)=2f^2(x)\Leftrightarrow3x^2f(x)-x^3f'(x)=2xf^2(x)$. Vì $f(x)
e0$ nên: $\frac{3x^2f(x)-x^3f'(x)}{f^2(x)}=2x\Leftrightarrow\left(\frac{x^3}{f(x)}ight)'=2x$. Lấy nguyên hàm hai vế ta được: $\frac{x^3}{f(x)}=\int2x\,dx=x^2+C$. Mặt khác $f(1)=\frac13$ nên $\frac{1^3}{\frac13}=1^2+C\Leftrightarrow C=2$. Khi đó $f(x)=\frac{x^3}{x^2+2}$, ta có $f'(x)=\frac{x^4+6x^2}{(x^2+2)^2}$; $f'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x^2=0\x^2=-6\;(	ext{VL})\end{array}ight.\Leftrightarrow x=0
otin[1;2]$. Bảng biến thiên [IMAGE:question_images/12-CD16. NGUYEN HAM/F. BAI TAP NANG CAO/image807.png] Vậy $m=\min_{[1;2]}f(x)=f(1)=\frac13$, $M=\max_{[1;2]}f(x)=f(2)=\frac43\Rightarrow M+m=\frac53$.

Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 57