Bài tập nâng cao · Bài 60
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 60
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và có đạo hàm trên $\mathbb{R}\setminus\{-1;0\}$ thỏa mãn $f(1)=\frac12$, $f(x)\ne0$ và $x\left[f'(x)+2f^2(x)\right]=f(x)\left[1-3x^2f(x)\right]$ với $\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{-1;0\}$. Giá trị của biểu thức $P=f(1)+f(2)+\ldots+f(2021)$ bằng?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $x\left[f'(x)+2f^2(x)\right]=f(x)\left[1-3x^2f(x)\right]\Leftrightarrow xf'(x)+2xf^2(x)=f(x)-3x^2f^2(x)$.
$\Leftrightarrow xf'(x)-f(x)=-3x^2f^2(x)-2xf^2(x)\Leftrightarrow\frac{xf'(x)-f(x)}{f^2(x)}=-3x^2-2x$.
$\Leftrightarrow\frac{f(x)-xf'(x)}{f^2(x)}=3x^2+2x\Leftrightarrow\left(\frac{x}{f(x)}\right)'=3x^2+2x$.
Lấy nguyên hàm hai vế ta được: $\frac{x}{f(x)}=x^3+x^2+C$.
Mà $f(1)=\frac12$, $f(x)\ne0$ nên ta được $C=0\Rightarrow f(x)=\frac1{x^2+x}=\frac1x-\frac1{x+1}$.
Xét $P=f(1)+f(2)+\ldots+f(2021)=1-\frac12+\frac12-\frac13+\ldots+\frac1{2021}-\frac1{2022}$.
$=1-\frac1{2022}=\frac{2021}{2022}$.
$\Leftrightarrow xf'(x)-f(x)=-3x^2f^2(x)-2xf^2(x)\Leftrightarrow\frac{xf'(x)-f(x)}{f^2(x)}=-3x^2-2x$.
$\Leftrightarrow\frac{f(x)-xf'(x)}{f^2(x)}=3x^2+2x\Leftrightarrow\left(\frac{x}{f(x)}\right)'=3x^2+2x$.
Lấy nguyên hàm hai vế ta được: $\frac{x}{f(x)}=x^3+x^2+C$.
Mà $f(1)=\frac12$, $f(x)\ne0$ nên ta được $C=0\Rightarrow f(x)=\frac1{x^2+x}=\frac1x-\frac1{x+1}$.
Xét $P=f(1)+f(2)+\ldots+f(2021)=1-\frac12+\frac12-\frac13+\ldots+\frac1{2021}-\frac1{2022}$.
$=1-\frac1{2022}=\frac{2021}{2022}$.