Bài tập nâng cao · Bài 45
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 45
Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mã $f\left( x \right)+f'\left( x \right)=e^{-x}$ và $f\left( 0 \right)=2$. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right).e^{2x}$ là.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $f\left( x \right)+f'\left( x \right)=e^{-x} \Rightarrow e^{x} .f\left( x \right)+e^{x} .f'\left( x \right)=1\Rightarrow \left ( { e^{x} f\left( x \right) } \right )'=1$.
$\Rightarrow \int { \left ( { e^{x} .f\left( x \right) } \right )'dx=\int { 1dx\Rightarrow e^{x} .f\left( x \right)=x+C } }$.
Ta lại có $f\left( 0 \right)=2\Rightarrow e^{0} .f\left( 0 \right)=0+C\Rightarrow C=2$
$\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{x+2}{e^{x} }\Rightarrow f\left( x \right).e^{2x} =\left( x+2 \right).e^{x}$
Vậy $I=\int { f\left( x \right).e^{2x} dx=\int { \left( x+2 \right)e^{x} dx } }$.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u=x+2 \\ dv=e^{x} dx \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du=dx \\ v=e^{x} \end{array} \right.$
Suy ra $I=\left( x+2 \right)e^{x} -\int { e^{x} dx=\left( x+2 \right)e^{x} -e^{x} +C=\left( x+1 \right)e^{x} +C }$
$\Rightarrow \int { \left ( { e^{x} .f\left( x \right) } \right )'dx=\int { 1dx\Rightarrow e^{x} .f\left( x \right)=x+C } }$.
Ta lại có $f\left( 0 \right)=2\Rightarrow e^{0} .f\left( 0 \right)=0+C\Rightarrow C=2$
$\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{x+2}{e^{x} }\Rightarrow f\left( x \right).e^{2x} =\left( x+2 \right).e^{x}$
Vậy $I=\int { f\left( x \right).e^{2x} dx=\int { \left( x+2 \right)e^{x} dx } }$.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u=x+2 \\ dv=e^{x} dx \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du=dx \\ v=e^{x} \end{array} \right.$
Suy ra $I=\left( x+2 \right)e^{x} -\int { e^{x} dx=\left( x+2 \right)e^{x} -e^{x} +C=\left( x+1 \right)e^{x} +C }$