Bài tập nâng cao · Bài 44
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 44
Cho $F\left( x \right)=x^{2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right).{ \rm{ e } }^{x}$. Khi đó $\int f'\left( x \right).{ \rm{ e } }^{x} { \rm{ d } }x$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $F'\left( x \right)=f\left( x \right).{ \rm{ e } }^{x}$$\Rightarrow 2x=f\left( x \right).{ \rm{ e } }^{x}$.
Xét $I=\int { f\left( x \right).{ \rm{ e } }^{x} { \rm{ d } }x }$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u=f\left( x \right) \\ { \rm{ d } }v={ \rm{ e } }^{x} { \rm{ d } }x \end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=f'\left( x \right){ \rm{ d } }x \\ v={ \rm{ e } }^{x} \end{array} \right.$
$\Rightarrow I=f\left( x \right).{ \rm{ e } }^{x} -\int { f'\left( x \right).{ \rm{ e } }^{x} { \rm{ d } }x }$$\Rightarrow \int { f'\left( x \right).{ \rm{ e } }^{x} { \rm{ d } }x }=f\left( x \right).{ \rm{ e } }^{x} -\int { f\left( x \right){ \rm{ e } }^{x} { \rm{ d } }x }$$=2x-\int { 2x{ \rm{ d } }x }$$=2x-x^{2} +C$.
Xét $I=\int { f\left( x \right).{ \rm{ e } }^{x} { \rm{ d } }x }$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u=f\left( x \right) \\ { \rm{ d } }v={ \rm{ e } }^{x} { \rm{ d } }x \end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=f'\left( x \right){ \rm{ d } }x \\ v={ \rm{ e } }^{x} \end{array} \right.$
$\Rightarrow I=f\left( x \right).{ \rm{ e } }^{x} -\int { f'\left( x \right).{ \rm{ e } }^{x} { \rm{ d } }x }$$\Rightarrow \int { f'\left( x \right).{ \rm{ e } }^{x} { \rm{ d } }x }=f\left( x \right).{ \rm{ e } }^{x} -\int { f\left( x \right){ \rm{ e } }^{x} { \rm{ d } }x }$$=2x-\int { 2x{ \rm{ d } }x }$$=2x-x^{2} +C$.