Bài tập nâng cao · Bài 43
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 43
Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0\,;\,5 \right]$ và thỏa mãn $f\left( x \right)+f'\left( x \right)={ \rm{ e } }^{-x} \sqrt{3x+1}$ $\forall x\in \left[ 0\,;\,5 \right]$. Biết $f\left( 0 \right)=0$, giá trị của $f\left( 1 \right)$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $f\left( x \right)+f'\left( x \right)={ \rm{ e } }^{-x} \sqrt{3x+1}$ $\Leftrightarrow$ $f\left( x \right){ \rm{ e } }^{x} +f'\left( x \right){ \rm{ e } }^{x} =\sqrt{3x+1}$ $\Leftrightarrow$ $\left[ { \rm{ e } }^{x} f\left( x \right) \right]'=\sqrt{3x+1} $.
Suy ra ${ \rm{ e } }^{x} f\left( x \right)=\int { \sqrt{3x+1}{ \rm{ d } }x }$$=$$\frac{2}{9}\left( 3x+1 \right)\sqrt{3x+1}+C$. $\left( * \right)$
Thay $x=0$ vào hai vế của $\left( * \right)$ ta được $C=-\frac{2}{9}$.
Thay $x=1$ và $C=-\frac{2}{9}$ vào $\left( * \right)$ ta được $f\left( 1 \right)=\frac{14}{9{ \rm{ e} } }$.
Suy ra ${ \rm{ e } }^{x} f\left( x \right)=\int { \sqrt{3x+1}{ \rm{ d } }x }$$=$$\frac{2}{9}\left( 3x+1 \right)\sqrt{3x+1}+C$. $\left( * \right)$
Thay $x=0$ vào hai vế của $\left( * \right)$ ta được $C=-\frac{2}{9}$.
Thay $x=1$ và $C=-\frac{2}{9}$ vào $\left( * \right)$ ta được $f\left( 1 \right)=\frac{14}{9{ \rm{ e} } }$.