Bài tập nâng cao · Bài 42
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 42
Cho $F\left( x \right)=\left( x^{2} +2x \right){ \rm{ e } }^{x}$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right).{ \rm{ e } }^{2x}$. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f'\left( x \right).{ \rm{ e } }^{2x}$.
Xem lời giải
Lời giải
Do $F\left( x \right)=\left( x^{2} +2x \right){ \rm{ e } }^{x}$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right).{ \rm{ e } }^{2x}$ nên ta có:
$f\left( x \right){ \rm{ e } }^{2x} =F'\left( x \right)=\left[ \left( x^{2} +2x \right){ \rm{ e } }^{x} \right]'=\left( 2x+2 \right){ \rm{ e} }^{x} +\left( x^{2} +2x \right){ \rm{ e } }^{x} $
$\Leftrightarrow f\left( x \right){ \rm{ e } }^{2x} =\left( x^{2} +2x+2x+2 \right){ \rm{ e } }^{x}$$\Leftrightarrow f\left( x \right){ \rm{ e } }^{2x} =\left( x^{2} +4x+2 \right){ \rm{ e } }^{x}$.
Tính $I=\int { f'\left( x \right).{ \rm{ e } }^{2x} }{ \rm{ d } }x$.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u={ \rm{ e } }^{2x} \\ { \rm{ d } }{ \rm{ v } }=f'\left( x \right){ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=2{ \rm{ e } }^{2x} { \rm{ d } }x \\ { \rm{ v } }=f\left( x \right) \end{array} \right.$.
Ta có $I=\int { f'\left( x \right).{ \rm{ e } }^{2x} }{ \rm{ d } }x=f\left( x \right){ \rm{ e } }^{2x} -2\int { f\left( x \right).{ \rm{ e } }^{2x} }{ \rm{ d } }x=\left( x^{2} +4x+2 \right){ \rm{ e } }^{x} -2\left( x^{2} +2x \right){ \rm{ e } }^{x} +C$
$=\left( x^{2} +4x+2-2x^{2} -4x \right){ \rm{ e } }^{x} +C=\left( 2-x^{2} \right){ \rm{ e } }^{x} +C$.
Vậy $I=\int { f'\left( x \right).{ \rm{ e } }^{2x} }{ \rm{ d } }x=\left( 2-x^{2} \right){ \rm{ e } }^{x} +C$.
$f\left( x \right){ \rm{ e } }^{2x} =F'\left( x \right)=\left[ \left( x^{2} +2x \right){ \rm{ e } }^{x} \right]'=\left( 2x+2 \right){ \rm{ e} }^{x} +\left( x^{2} +2x \right){ \rm{ e } }^{x} $
$\Leftrightarrow f\left( x \right){ \rm{ e } }^{2x} =\left( x^{2} +2x+2x+2 \right){ \rm{ e } }^{x}$$\Leftrightarrow f\left( x \right){ \rm{ e } }^{2x} =\left( x^{2} +4x+2 \right){ \rm{ e } }^{x}$.
Tính $I=\int { f'\left( x \right).{ \rm{ e } }^{2x} }{ \rm{ d } }x$.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u={ \rm{ e } }^{2x} \\ { \rm{ d } }{ \rm{ v } }=f'\left( x \right){ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=2{ \rm{ e } }^{2x} { \rm{ d } }x \\ { \rm{ v } }=f\left( x \right) \end{array} \right.$.
Ta có $I=\int { f'\left( x \right).{ \rm{ e } }^{2x} }{ \rm{ d } }x=f\left( x \right){ \rm{ e } }^{2x} -2\int { f\left( x \right).{ \rm{ e } }^{2x} }{ \rm{ d } }x=\left( x^{2} +4x+2 \right){ \rm{ e } }^{x} -2\left( x^{2} +2x \right){ \rm{ e } }^{x} +C$
$=\left( x^{2} +4x+2-2x^{2} -4x \right){ \rm{ e } }^{x} +C=\left( 2-x^{2} \right){ \rm{ e } }^{x} +C$.
Vậy $I=\int { f'\left( x \right).{ \rm{ e } }^{2x} }{ \rm{ d } }x=\left( 2-x^{2} \right){ \rm{ e } }^{x} +C$.