Bài tập nâng cao · Bài 16
Dạng 1. Phương pháp tính nguyên hàm
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 16
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ xác định trên $ \mathbb{R}\setminus \left \{ \begin{array}{l} -2;2 \end{array} \right \} $ thỏa mãn $ f'\left ( { x } \right )=\frac { 4 } { x ^ { 2 } -4 } $ , $ f\left ( { -3 } \right )+f\left ( { 3 } \right )=f\left ( { -1 } \right )+f\left ( { 1 } \right )=2 $ . Giá trị của biểu thức $ f\left ( { -4 } \right )+f\left ( { 0 } \right )+f\left ( { 4 } \right ) $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ f'\left ( { x } \right )=\frac { 4 } { x ^ { 2 } -4 }=\frac { 1 } { x-2 }-\frac { 1 } { x+2 } $ .
Nguyên hàm $ \int { \left ( { \frac { 1 } { x-2 }-\frac { 1 } { x+2 } } \right ){ \rm{ d } }x }=ln\left | { x-2 } \right |-ln\left | { x+2 } \right |+C $ Suy ra $ f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} ln\frac { x-2 } { x+2 }+C_{ 1 } khi\,x < -2 \\ ln\frac { 2-x } { x+2 }+C_{ 2 } khi\,-2 < x < 2 \\ ln\frac { x-2 } { x+2 }+C_{ 3 } khi\,x>2 \end{array} \right. $ .
Theo đề $ \left \{ \begin{array}{l} f\left ( { -3 } \right )+f\left ( { 3 } \right )=2 \\ f\left ( { -1 } \right )+f\left ( { 1 } \right )=2 \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} ln5+ln\frac { 1 } { 5 }+C_{ 1 } +C_{ 3 } =2 \\ ln3+ln\frac { 1 } { 3 }+2C_{ 2 } =2 \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} C_{ 1 } +C_{ 3 } =2 \\ C_{ 2 } =1 \end{array} \right. $ .
Do đó $ f\left ( { -4 } \right )+f\left ( { 0 } \right )+f\left ( { 4 } \right )=ln3+C_{ 1 } +ln1+C_{ 2 } +ln\frac { 1 } { 3 }+C_{ 3 } =C_{ 1 } +C_{ 2 } +C_{ 3 } =3 $ .
Nguyên hàm $ \int { \left ( { \frac { 1 } { x-2 }-\frac { 1 } { x+2 } } \right ){ \rm{ d } }x }=ln\left | { x-2 } \right |-ln\left | { x+2 } \right |+C $ Suy ra $ f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} ln\frac { x-2 } { x+2 }+C_{ 1 } khi\,x < -2 \\ ln\frac { 2-x } { x+2 }+C_{ 2 } khi\,-2 < x < 2 \\ ln\frac { x-2 } { x+2 }+C_{ 3 } khi\,x>2 \end{array} \right. $ .
Theo đề $ \left \{ \begin{array}{l} f\left ( { -3 } \right )+f\left ( { 3 } \right )=2 \\ f\left ( { -1 } \right )+f\left ( { 1 } \right )=2 \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} ln5+ln\frac { 1 } { 5 }+C_{ 1 } +C_{ 3 } =2 \\ ln3+ln\frac { 1 } { 3 }+2C_{ 2 } =2 \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} C_{ 1 } +C_{ 3 } =2 \\ C_{ 2 } =1 \end{array} \right. $ .
Do đó $ f\left ( { -4 } \right )+f\left ( { 0 } \right )+f\left ( { 4 } \right )=ln3+C_{ 1 } +ln1+C_{ 2 } +ln\frac { 1 } { 3 }+C_{ 3 } =C_{ 1 } +C_{ 2 } +C_{ 3 } =3 $ .