Bài tập nâng cao · Bài 17
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 17
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ đồng biến trên $ \left ( { 0;+\infty } \right ) $ ; $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục, nhận giá trị dương trên $ \left ( { 0;+\infty } \right ) $ và thỏa mãn $ f\left ( { 3 } \right )=\frac { 2 } { 3 } $ và $ \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } =\left ( { x+1 } \right ).f\left ( { x } \right ) $ . Tìm $ f ^ { 2 } \left ( { 8 } \right ) $
Xem lời giải
Lời giải
Hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ đồng biến trên $ \left ( { 0;+\infty } \right ) $ nên suy ra $ f'\left ( { x } \right )\geq 0,\forall x\in \left ( { 0;+\infty } \right ) $ .
Mặt khác $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục, nhận giá trị dương trên $ \left ( { 0;+\infty } \right ) $ nên $ \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } =\left ( { x+1 } \right )f\left ( { x } \right )\Rightarrow f'\left ( { x } \right )=\sqrt[] { \left ( { x+1 } \right )f\left ( { x } \right ) } $ , $ \forall x\in \left ( { 0;+\infty } \right ) $ $ \Rightarrow \frac { f'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } }=\sqrt[] { \left ( { x+1 } \right ) } $ , $ \forall x\in \left ( { 0;+\infty } \right ) $ ; $ \Rightarrow \int { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } }dx }=\int { \sqrt[] { \left ( { x+1 } \right ) }dx } $ $ \Rightarrow \sqrt[] { f\left ( { x } \right ) }=\frac { 1 } { 3 }\sqrt[] { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 3 } }+C $ ;
Từ $ f\left ( { 3 } \right )=\frac { 2 } { 3 } $ suy ra $ C=\sqrt[] { \frac { 2 } { 3 } }-\frac { 8 } { 3 } $ Như vậy $ f\left ( { x } \right )=\left ( { \frac { 1 } { 3 }\sqrt[] { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 3 } }+\sqrt[] { \frac { 2 } { 3 } }-\frac { 8 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } $ Bởi thế: $ f\left ( { 8 } \right )=\left ( { \frac { 1 } { 3 }\sqrt[] { \left ( { 8+1 } \right ) ^ { 3 } }+\sqrt[] { \frac { 2 } { 3 } }-\frac { 8 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } =\left ( { 9+\sqrt[] { \frac { 2 } { 3 } }-\frac { 8 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } $ $ \Rightarrow f ^ { 2 } \left ( { 8 } \right )=\left ( { 9+\sqrt[] { \frac { 2 } { 3 } }-\frac { 8 } { 3 } } \right ) ^ { 4 } \approx 2613,26 $ .
Mặt khác $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục, nhận giá trị dương trên $ \left ( { 0;+\infty } \right ) $ nên $ \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } =\left ( { x+1 } \right )f\left ( { x } \right )\Rightarrow f'\left ( { x } \right )=\sqrt[] { \left ( { x+1 } \right )f\left ( { x } \right ) } $ , $ \forall x\in \left ( { 0;+\infty } \right ) $ $ \Rightarrow \frac { f'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } }=\sqrt[] { \left ( { x+1 } \right ) } $ , $ \forall x\in \left ( { 0;+\infty } \right ) $ ; $ \Rightarrow \int { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } }dx }=\int { \sqrt[] { \left ( { x+1 } \right ) }dx } $ $ \Rightarrow \sqrt[] { f\left ( { x } \right ) }=\frac { 1 } { 3 }\sqrt[] { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 3 } }+C $ ;
Từ $ f\left ( { 3 } \right )=\frac { 2 } { 3 } $ suy ra $ C=\sqrt[] { \frac { 2 } { 3 } }-\frac { 8 } { 3 } $ Như vậy $ f\left ( { x } \right )=\left ( { \frac { 1 } { 3 }\sqrt[] { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 3 } }+\sqrt[] { \frac { 2 } { 3 } }-\frac { 8 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } $ Bởi thế: $ f\left ( { 8 } \right )=\left ( { \frac { 1 } { 3 }\sqrt[] { \left ( { 8+1 } \right ) ^ { 3 } }+\sqrt[] { \frac { 2 } { 3 } }-\frac { 8 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } =\left ( { 9+\sqrt[] { \frac { 2 } { 3 } }-\frac { 8 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } $ $ \Rightarrow f ^ { 2 } \left ( { 8 } \right )=\left ( { 9+\sqrt[] { \frac { 2 } { 3 } }-\frac { 8 } { 3 } } \right ) ^ { 4 } \approx 2613,26 $ .