Cho $ F\left ( { x } \right ) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left ( { x } \right )={ \rm{ e } } ^ { \sqrt[3] { x } } $ với $ F\left ( { 0 } \right )=2. $ Tính $ F\left ( { -1 } \right ). $

Question

Dạng 1. Phương pháp tính nguyên hàm Cho $ F\left ( { x } \right ) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left ( { x } \right )={ \rm{ e } } ^ { \sqrt[3] { x } } $ với $ F\left ( { 0 } \right )=2. $ Tính $ F\left ( { -1 } \right ). $

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Đặt $ t=\sqrt[3] { x }\Rightarrow t ^ { 3 } =x\Rightarrow 3t ^ { 2 } { m{ d } }t={ m{ d } }x. $ Xét $ G\left ( { t } ight )=\int { e ^ { t } .t ^ { 2 } { m{ d } }t }. $ Ta có $ F\left ( { x } ight )=\int { f\left ( { x } ight ){ m{ d } }x }=3G\left ( { t } ight ). $ Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=t ^ { 2 } \ { m{ d } }v=e ^ { t } { m{ d } }t \end{array} ight.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { m{ d } }u=2t{ m{ d } }t \ v=e ^ { t } \end{array} ight. $ Suy ra $ G\left ( { t } ight )=e ^ { t } .t ^ { 2 } -2\int { e ^ { t } .t{ m{ d } }t }. $ Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=t \ { m{ d } }v=e ^ { t } { m{ d } }t \end{array} ight.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { m{ d } }u={ m{ d } }t \ v=e ^ { t } \end{array} ight.. $ Suy ra $ G\left ( { t } ight )=e ^ { t } .t ^ { 2 } -2\left ( { e ^ { t } .t-\int { e ^ { t } { m{ d } }t } } ight )=e ^ { t } .t ^ { 2 } -2e ^ { t } .t+2e ^ { t } +C $ (*). Cho $ x=0\Rightarrow t=0 $ thay vào (*) ta được $ G\left ( { 0 } ight )=2e ^ { 0 } +C\Leftrightarrow \frac { 1 } { 3 }F\left ( { 0 } ight )=2+C\Leftrightarrow C=-\frac { 4 } { 3 }. $ Suy ra $ F\left ( { x } ight )=3e ^ { \sqrt[3] { x } } \left ( { \sqrt[3] { x ^ { 2 } }-2\sqrt[3] { x }+2 } ight )-4. $ Vậy $ F\left ( { -1 } ight )=3e ^ { -1 } \left ( { 1+2+2 } ight )-4=\frac { 15 } { e }-4. $

Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 7