Biết rằng $ \int { \left ( { cos ^ { 3 } x.sin3x+sin ^ { 3 } x.cos3x } \right ){ \rm{ d } }x=\frac { a } { b }cos4x+C } $ với $ a,b\in \mathbb{Z} $ , $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản $ \left ( { a 0 } \right ) $ , tính $ 2a+b $ .

Question

Dạng 1. Phương pháp tính nguyên hàm Biết rằng $ \int { \left ( { cos ^ { 3 } x.sin3x+sin ^ { 3 } x.cos3x } \right ){ \rm{ d } }x=\frac { a } { b }cos4x+C } $ với $ a,b\in \mathbb{Z} $ , $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản $ \left ( { a < 0,b>0 } \right ) $ , tính $ 2a+b $ .

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có: $ cos ^ { 3 } x.sin3x+sin ^ { 3 } x.cos3x=cos ^ { 3 } x.\left ( { 3sinx-4sin ^ { 3 } x } ight )+sin ^ { 3 } x.\left ( { 4cos ^ { 3 } x-3cosx } ight ) $ $ =3cos ^ { 3 } x.sinx-4sin ^ { 3 } x.cos ^ { 3 } x+4sin ^ { 3 } x.cos ^ { 3 } x+3sin ^ { 3 } x.cosx $ $ =3cos ^ { 3 } x.sinx+3sin ^ { 3 } x.cosx $ $ =3sinx.cosx.\left ( { cos ^ { 2 } x-sin ^ { 2 } x } ight ) $ $ =\frac { 3 } { 2 }sin2x.\left ( { cos ^ { 2 } x-sin ^ { 2 } x } ight ) $ $ =\frac { 3 } { 2 }sin2x.cos2x=\frac { 3 } { 4 }sin4x $ $ \Rightarrow \int { \left ( { cos ^ { 3 } x.sin3x+sin ^ { 3 } x.cos3x } ight ){ m{ d } }x=\frac { 3 } { 4 }\int { sin4x{ m{ d } }x=-\frac { 3 } { 16 }cos4x+C= }\frac { a } { b }cos4x+C } $ . Vì: $ \left \{ \begin{array}{l} a < 0 \ b>0 \ a,b\in \mathbb{Z} \end{array} ight.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=-3 \ b=16 \end{array} ight.\Rightarrow 2a+b=10 $ .

Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 6