Bài tập nâng cao · Bài 5
Dạng 1. Phương pháp tính nguyên hàm
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 5
Cho $ F\left ( { x } \right )=\left ( { ax ^ { 2 } +bx-c } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left ( { x } \right )=\left ( { 2020x ^ { 2 } +2022x-1 } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } $ trên khoảng $ \left ( { -\infty \,;\,+\infty } \right ) $ . Tính $ T=a-2b+4c $ .
Xem lời giải
Lời giải
Xét $ F\left ( { x } \right )=\int { \left ( { 2020x ^ { 2 } +2022x-1 } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } { \rm{ d } }x } $ .
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=2020x ^ { 2 } +2022x-1 \\ { \rm{ d } }v={ \rm{ e } } ^ { 2x } { \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=\left ( { 4040x+2022 } \right ){ \rm{ d } }x \\ v=\frac { 1 } { 2 }{ \rm{ e } } ^ { 2x } \end{array} \right. $ .
Do đó $ F\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { 2020x ^ { 2 } +2022x-1 } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } -\frac { 1 } { 2 }\int { \left ( { 4040x+2022 } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } { \rm{ d } }x }+C $ .
Đặt $ I=\int { \left ( { 4040x+2022 } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } { \rm{ d } }x } $ .
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u_{ 1 } =4040x+2022 \\ { \rm{ d } }v_{ 1 } ={ \rm{ e } } ^ { 2x } { \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u_{ 1 } =4040{ \rm{ d } }x \\ v_{ 1 } =\frac { 1 } { 2 }{ \rm{ e } } ^ { 2x } \end{array} \right. $ .
Do đó $ I=\frac { 1 } { 2 }\left ( { 4040x+2022 } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } -2020\int { { \rm{ e } } ^ { 2x } { \rm{ d } }x } $ $ =\frac { 1 } { 2 }\left ( { 4040x+2022 } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } -1010{ \rm{ e } } ^ { 2x } $ $ =\left ( { 2020x+1 } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } $ . $ F\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { 2020x ^ { 2 } +2022x-1 } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } -\frac { 1 } { 2 }\left ( { 2020x+1 } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } +C $ $ =1010x ^ { 2 } { \rm{ e } } ^ { 2x } +1011x{ \rm{ e } } ^ { 2x } -\frac { 1 } { 2 }{ \rm{ e } } ^ { 2x } -1010x{ \rm{ e } } ^ { 2x } -\frac { 1 } { 2 }{ \rm{ e } } ^ { 2x } +C $ $ =1010x ^ { 2 } { \rm{ e } } ^ { 2x } +x{ \rm{ e } } ^ { 2x } -{ \rm{ e } } ^ { 2x } +C $ $ =\left ( { 1010x ^ { 2 } +x-1 } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } +C $ .
Theo đề bài, ta có $ a=1010 $ , $ b=1 $ , $ c=1 $ , $ C=0 $ . Vậy $ T=1010-2+4=1012 $ .
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=2020x ^ { 2 } +2022x-1 \\ { \rm{ d } }v={ \rm{ e } } ^ { 2x } { \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=\left ( { 4040x+2022 } \right ){ \rm{ d } }x \\ v=\frac { 1 } { 2 }{ \rm{ e } } ^ { 2x } \end{array} \right. $ .
Do đó $ F\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { 2020x ^ { 2 } +2022x-1 } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } -\frac { 1 } { 2 }\int { \left ( { 4040x+2022 } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } { \rm{ d } }x }+C $ .
Đặt $ I=\int { \left ( { 4040x+2022 } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } { \rm{ d } }x } $ .
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u_{ 1 } =4040x+2022 \\ { \rm{ d } }v_{ 1 } ={ \rm{ e } } ^ { 2x } { \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u_{ 1 } =4040{ \rm{ d } }x \\ v_{ 1 } =\frac { 1 } { 2 }{ \rm{ e } } ^ { 2x } \end{array} \right. $ .
Do đó $ I=\frac { 1 } { 2 }\left ( { 4040x+2022 } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } -2020\int { { \rm{ e } } ^ { 2x } { \rm{ d } }x } $ $ =\frac { 1 } { 2 }\left ( { 4040x+2022 } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } -1010{ \rm{ e } } ^ { 2x } $ $ =\left ( { 2020x+1 } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } $ . $ F\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { 2020x ^ { 2 } +2022x-1 } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } -\frac { 1 } { 2 }\left ( { 2020x+1 } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } +C $ $ =1010x ^ { 2 } { \rm{ e } } ^ { 2x } +1011x{ \rm{ e } } ^ { 2x } -\frac { 1 } { 2 }{ \rm{ e } } ^ { 2x } -1010x{ \rm{ e } } ^ { 2x } -\frac { 1 } { 2 }{ \rm{ e } } ^ { 2x } +C $ $ =1010x ^ { 2 } { \rm{ e } } ^ { 2x } +x{ \rm{ e } } ^ { 2x } -{ \rm{ e } } ^ { 2x } +C $ $ =\left ( { 1010x ^ { 2 } +x-1 } \right ){ \rm{ e } } ^ { 2x } +C $ .
Theo đề bài, ta có $ a=1010 $ , $ b=1 $ , $ c=1 $ , $ C=0 $ . Vậy $ T=1010-2+4=1012 $ .