Bài tập nâng cao · Bài 23
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 23
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )\neq 0 $ thỏa mãn điều kiện $ f'\left ( { x } \right )=\left ( { 2x+3 } \right )f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) $ và $ f\left ( { 0 } \right )=-\frac { 1 } { 2 } $ . Biết rằng tổng $ f\left ( { 1 } \right )+f\left ( { 2 } \right )+f\left ( { 3 } \right )+...+f\left ( { 2017 } \right )+f\left ( { 2018 } \right )=\frac { a } { b } $ với $ \left ( { a\in \mathbb{Z},\,\,b\in \mathbb{N} ^ { * } } \right ) $ và $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản.
Tính $ b-a $
Tính $ b-a $
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ f'\left ( { x } \right )=\left ( { 2x+3 } \right )f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) $ $ \Leftrightarrow \frac { f'\left ( { x } \right ) } { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) }=2x+3 $ $ \Leftrightarrow \int { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) } }{ \rm{ d } }x=\int { \left ( { 2x+3 } \right ){ \rm{ d } }x } $ $ \Leftrightarrow -\frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) }=x ^ { 2 } +3x+C $ .
Vì $ f\left ( { 0 } \right )=-\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow C=2 $ .
Vậy $ f\left ( { x } \right )=-\frac { 1 } { \left ( { x+1 } \right )\left ( { x+2 } \right ) }=\frac { 1 } { x+2 }-\frac { 1 } { x+1 } $ .
Do đó $ f\left ( { 1 } \right )+f\left ( { 2 } \right )+f\left ( { 3 } \right )+...+f\left ( { 2017 } \right )+f\left ( { 2018 } \right )=\frac { 1 } { 2020 }-\frac { 1 } { 2 }=-\frac { 1009 } { 2020 } $ .
Vậy $ a=-1009 $ ; $ b=2020 $ . Do đó $ b-a=3029 $ .
Vì $ f\left ( { 0 } \right )=-\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow C=2 $ .
Vậy $ f\left ( { x } \right )=-\frac { 1 } { \left ( { x+1 } \right )\left ( { x+2 } \right ) }=\frac { 1 } { x+2 }-\frac { 1 } { x+1 } $ .
Do đó $ f\left ( { 1 } \right )+f\left ( { 2 } \right )+f\left ( { 3 } \right )+...+f\left ( { 2017 } \right )+f\left ( { 2018 } \right )=\frac { 1 } { 2020 }-\frac { 1 } { 2 }=-\frac { 1009 } { 2020 } $ .
Vậy $ a=-1009 $ ; $ b=2020 $ . Do đó $ b-a=3029 $ .