Giả sử hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục, nhận giá trị dương trên $ \left ( { 0;+\infty } \right ) $ và thỏa mãn $ f\left ( { 1 } \right )=1 $ , $ f\left ( { x } \right )=f'\left ( { x } \right ).\sqrt[] { 3x+1 } $ , với mọi $ x0 $ . Tìm $ f\left ( { 5 } \right ) $

Question

Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn Giả sử hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục, nhận giá trị dương trên $ \left ( { 0;+\infty } \right ) $ và thỏa mãn $ f\left ( { 1 } \right )=1 $ , $ f\left ( { x } \right )=f'\left ( { x } \right ).\sqrt[] { 3x+1 } $ , với mọi $ x>0 $ . Tìm $ f\left ( { 5 } \right ) $

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có $ f\left ( { x } \right )=f'\left ( { x } \right ).\sqrt[] { 3x+1 } $ $ \Leftrightarrow \frac { f'\left ( { x } \right ) } { f\left ( { x } \right ) }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3x+1 } } $ $ \Rightarrow \int { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x }=\int { \frac { 1 } { \sqrt[] { 3x+1 } }{ \rm{ d } }x } $ $ \Leftrightarrow \int { \frac { { \rm{ d } }\left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) } { f\left ( { x } \right ) } }=\int { \frac { 1 } { \sqrt[] { 3x+1 } }{ \rm{ d } }x } $ $ \Leftrightarrow lnf\left ( { x } \right )=\frac { 2 } { 3 }\sqrt[] { 3x+1 }+C $ $ \Leftrightarrow f\left ( { x } \right )=e ^ { \frac { 2 } { 3 }\sqrt[] { 3x+1 }+C } $ Mà $ f\left ( { 1 } \right )=1 $ nên $ e ^ { \frac { 4 } { 3 }+C } =1 $ $ \Leftrightarrow C=-\frac { 4 } { 3 } $ . Suy ra $ f\left ( { 5 } \right )=e ^ { \frac { 4 } { 3 } } \approx 3,794 $ .

Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 22