Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R}\setminus \left \{ \begin{array}{l} 0;\,\,-1 \end{array} \right \} $ thỏa mãn điều kiện $ f\left ( { 1 } \right )=-2ln2 $ và $ x\left ( { x+1 } \right ).f'\left ( { x } \right )+f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +x $ . Giá trị $ f\left ( { 2 } \right )=a+bln3 $ , với $ a,\,b\in \mathbb{Q} $ . Tính $ a ^ { 2 } +b ^ { 2 } $ .

Question

Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R}\setminus \left \{ \begin{array}{l} 0;\,\,-1 \end{array} \right \} $ thỏa mãn điều kiện $ f\left ( { 1 } \right )=-2ln2 $ và $ x\left ( { x+1 } \right ).f'\left ( { x } \right )+f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +x $ . Giá trị $ f\left ( { 2 } \right )=a+bln3 $ , với $ a,\,b\in \mathbb{Q} $ . Tính $ a ^ { 2 } +b ^ { 2 } $ .

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Từ giả thiết, ta có $ x(x+1)f'(x)+f(x)=x^2+x $ $ \Leftrightarrow \frac{x}{x+1}f'(x)+\frac{1}{(x+1)^2}f(x)=\frac{x}{x+1} $ $ \Leftrightarrow \left[\frac{x}{x+1}f(x)\right]'=\frac{x}{x+1} $ , với $ \forall x\in\mathbb{R}\setminus\{0,-1\} $ . Suy ra $ \frac{x}{x+1}f(x)=\int\frac{x}{x+1}\,dx $ hay $ \frac{x}{x+1}f(x)=x-\ln|x+1|+C $ . Mặt khác, ta có $ f(1)=-2\ln2 $ nên $ C=-1 $ . Do đó $ \frac{x}{x+1}f(x)=x-\ln|x+1|-1 $ . Với $ x=2 $ thì $ \frac23f(2)=1-\ln3\Leftrightarrow f(2)=\frac32-\frac32\ln3 $ . Suy ra $ a=\frac32 $ và $ b=-\frac32 $ . Vậy $ a^2+b^2=\frac92 $ .

Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 21