Bài tập nâng cao · Bài 20
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 20
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm trên $ \mathbb{R} $ thỏa mãn $ \left ( { x+2 } \right )f\left ( { x } \right )+\left ( { x+1 } \right )f'\left ( { x } \right )={ \rm{ e } } ^ { x } $ và $ f\left ( { 0 } \right )=\frac { 1 } { 2 } $ . Tính $ f\left ( { 2 } \right ) $ .
Xem lời giải
Lời giải
Ta có
$ (x+2)f(x)+(x+1)f'(x)=e^x $
$ \Leftrightarrow (x+1)f(x)+f(x)+(x+1)f'(x)=e^x $
$ \Leftrightarrow (x+1)f(x)+[(x+1)f(x)]'=e^x $
$ \Leftrightarrow e^x(x+1)f(x)+e^x[(x+1)f(x)]'=e^{2x} $
$ \Leftrightarrow [e^x(x+1)f(x)]'=e^{2x} $
$ \Rightarrow \int[e^x(x+1)f(x)]'\,dx=\int e^{2x}\,dx $
$ \Leftrightarrow e^x(x+1)f(x)=\frac12e^{2x}+C $ .
Mà $ f(0)=\frac12\Rightarrow C=0 $ . Vậy $ f(x)=\frac12\cdot\frac{e^x}{x+1} $ .
Khi đó $ f(2)=\frac{e^2}{6} $ .
$ (x+2)f(x)+(x+1)f'(x)=e^x $
$ \Leftrightarrow (x+1)f(x)+f(x)+(x+1)f'(x)=e^x $
$ \Leftrightarrow (x+1)f(x)+[(x+1)f(x)]'=e^x $
$ \Leftrightarrow e^x(x+1)f(x)+e^x[(x+1)f(x)]'=e^{2x} $
$ \Leftrightarrow [e^x(x+1)f(x)]'=e^{2x} $
$ \Rightarrow \int[e^x(x+1)f(x)]'\,dx=\int e^{2x}\,dx $
$ \Leftrightarrow e^x(x+1)f(x)=\frac12e^{2x}+C $ .
Mà $ f(0)=\frac12\Rightarrow C=0 $ . Vậy $ f(x)=\frac12\cdot\frac{e^x}{x+1} $ .
Khi đó $ f(2)=\frac{e^2}{6} $ .