Bài tập nâng cao · Bài 19
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 19
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ thỏa mãn $ [f'(x)]^2+f(x)f''(x)=2x^2-x+1 $ , $ \forall x\in \mathbb{R} $ và $ f\left ( { 0 } \right )=f'\left ( { 0 } \right )=3 $ . Giá trị của $ \left[ f\left ( { 1 } \right ) \right] ^ { 2 } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ [f(x)f'(x)]'=[f'(x)]^2+f(x)f''(x) $ .
Do đó theo giả thiết ta được $ [f(x)f'(x)]'=2x^2-x+1 $ .
Suy ra $ f(x)f'(x)=\frac23x^3-\frac{x^2}{2}+x+C $ . Hơn nữa $ f(0)=f'(0)=3 $ suy ra $ C=9 $ .
Tương tự vì $ [f^2(x)]'=2f(x)f'(x) $ nên $ [f^2(x)]'=2\left(\frac23x^3-\frac{x^2}{2}+x+9\right) $ . Suy ra
$ f^2(x)=\int2\left(\frac23x^3-\frac{x^2}{2}+x+9\right)\,dx=\frac13x^4-\frac{x^3}{3}+x^2+18x+C $ , cũng vì $ f(0)=3 $ suy ra
$ f^2(x)=\frac13x^4-\frac{x^3}{3}+x^2+18x+9 $ . Do đó $ [f(1)]^2=28 $ .
Do đó theo giả thiết ta được $ [f(x)f'(x)]'=2x^2-x+1 $ .
Suy ra $ f(x)f'(x)=\frac23x^3-\frac{x^2}{2}+x+C $ . Hơn nữa $ f(0)=f'(0)=3 $ suy ra $ C=9 $ .
Tương tự vì $ [f^2(x)]'=2f(x)f'(x) $ nên $ [f^2(x)]'=2\left(\frac23x^3-\frac{x^2}{2}+x+9\right) $ . Suy ra
$ f^2(x)=\int2\left(\frac23x^3-\frac{x^2}{2}+x+9\right)\,dx=\frac13x^4-\frac{x^3}{3}+x^2+18x+C $ , cũng vì $ f(0)=3 $ suy ra
$ f^2(x)=\frac13x^4-\frac{x^3}{3}+x^2+18x+9 $ . Do đó $ [f(1)]^2=28 $ .