Bài tập nâng cao · Bài 24
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 24
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )\neq 0 $ , $ f'\left ( { x } \right )=\frac { 3x ^ { 4 } +x ^ { 2 } -1 } { x ^ { 2 } }f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) $ và $ f\left ( { 1 } \right )=-\frac { 1 } { 3 } $ . Tính $ f\left ( { 1 } \right )+f\left ( { 2 } \right )+...+f\left ( { 80 } \right ) $ .
Xem lời giải
Lời giải
$ f'\left ( { x } \right )=\frac { 3x ^ { 4 } +x ^ { 2 } -1 } { x ^ { 2 } }f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) $ $ \Leftrightarrow $ $ \frac { f'\left ( { x } \right ) } { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) }=\frac { 3x ^ { 4 } +x ^ { 2 } -1 } { x ^ { 2 } } $ . $ \int { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=\int { \frac { 3x ^ { 4 } +x ^ { 2 } -1 } { x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x } } $ $ \Leftrightarrow $ $ \int { \frac { { \rm{ d } }\left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) } { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) }=\int { \frac { 3x ^ { 4 } +x ^ { 2 } -1 } { x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x } } $ . $ \Leftrightarrow $ $ \int { \frac { { \rm{ d } }\left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) } { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) }=\int { \left ( { 3x ^ { 2 } +1-\frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right ){ \rm{ d } }x } } $ $ \Leftrightarrow $ $ \frac { -1 } { f\left ( { x } \right ) }=x ^ { 3 } +x+\frac { 1 } { x }+C $ $ \Leftrightarrow $ $ f\left ( { x } \right )=\frac { -1 } { x ^ { 3 } +x+\frac { 1 } { x }+C } $ .
Do $ f\left ( { 1 } \right )=-\frac { 1 } { 3 } $ $ \Rightarrow C=0 $ $ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { -x } { x ^ { 4 } +x ^ { 2 } +1 } $ = $ \frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { 1 } { x ^ { 2 } +x+1 }-\frac { 1 } { x ^ { 2 } -x+1 } } \right ) $ . $ f\left ( { 1 } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { 1 } { 3 }-\frac { 1 } { 1 } } \right ) $ ; $ f\left ( { 2 } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { 1 } { 7 }-\frac { 1 } { 3 } } \right ) $ ; $ f\left ( { 3 } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { 1 } { 13 }-\frac { 1 } { 7 } } \right ) $ ;...; $ f\left ( { 80 } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { 1 } { 6481 }-\frac { 1 } { 6321 } } \right ) $ . $ f\left ( { 1 } \right )+f\left ( { 2 } \right )+...+f\left ( { 80 } \right )= $ $ -\frac { 1 } { 2 }+\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 6481 } $ = $ -\frac { 3240 } { 6481 } $ .
Do $ f\left ( { 1 } \right )=-\frac { 1 } { 3 } $ $ \Rightarrow C=0 $ $ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { -x } { x ^ { 4 } +x ^ { 2 } +1 } $ = $ \frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { 1 } { x ^ { 2 } +x+1 }-\frac { 1 } { x ^ { 2 } -x+1 } } \right ) $ . $ f\left ( { 1 } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { 1 } { 3 }-\frac { 1 } { 1 } } \right ) $ ; $ f\left ( { 2 } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { 1 } { 7 }-\frac { 1 } { 3 } } \right ) $ ; $ f\left ( { 3 } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { 1 } { 13 }-\frac { 1 } { 7 } } \right ) $ ;...; $ f\left ( { 80 } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { 1 } { 6481 }-\frac { 1 } { 6321 } } \right ) $ . $ f\left ( { 1 } \right )+f\left ( { 2 } \right )+...+f\left ( { 80 } \right )= $ $ -\frac { 1 } { 2 }+\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 6481 } $ = $ -\frac { 3240 } { 6481 } $ .