Bài tập nâng cao · Bài 25
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 25
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ đồng biến có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn $ \left[ 0;\,2 \right] $ và thỏa mãn $ [f(x)]^2-f(x)f''(x)+[f'(x)]^2=0 $ . Biết $ f\left ( { 0 } \right )=1 $ , $ f\left ( { 2 } \right )={ \rm{ e } } ^ { 6 } $ . Khi đó $ f\left ( { 1 } \right ) $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Theo đề bài, ta có $ [f(x)]^2-f(x)f''(x)+[f'(x)]^2=0 $
$ \Rightarrow \left[\frac{f'(x)}{f(x)}\right]'=1\Rightarrow\frac{f'(x)}{f(x)}=x+C\Rightarrow\ln f(x)=\frac{x^2}{2}+Cx+D $ .
Mà $ \left\{\begin{array}{l}f(0)=1\\f(2)=e^6\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}C=2\\D=0\end{array}\right. $ . Suy ra: $ f(x)=e^{\frac{x^2}{2}+2x}\Rightarrow f(1)=e^{\frac52} $ .
$ \Rightarrow \left[\frac{f'(x)}{f(x)}\right]'=1\Rightarrow\frac{f'(x)}{f(x)}=x+C\Rightarrow\ln f(x)=\frac{x^2}{2}+Cx+D $ .
Mà $ \left\{\begin{array}{l}f(0)=1\\f(2)=e^6\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}C=2\\D=0\end{array}\right. $ . Suy ra: $ f(x)=e^{\frac{x^2}{2}+2x}\Rightarrow f(1)=e^{\frac52} $ .