Bài tập nâng cao · Bài 26
Dạng 2. Nguyên hàm hàm ẩn
Bài tập nâng cao Nguyên hàm · Bài 26
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ thỏa mãn $ f\left ( { 1 } \right )=4 $ và $ f\left ( { x } \right )=xf'\left ( { x } \right )-2x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } $ với mọi $ x>0 $ . Giá trị của $ f\left ( { 2 } \right ) $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ f\left ( { x } \right )=xf'\left ( { x } \right )-2x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } \Leftrightarrow 2x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } =xf'\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right )\Leftrightarrow x ^ { 2 } \left ( { 2x+3 } \right )=xf'\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right ) $ $ \Leftrightarrow 2x+3=\frac { xf'\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } }=\left ( { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x } } \right )' $ $ \Rightarrow \ \int { \left ( { 2x+3 } \right ){ \rm{ d } }x= }\int { \left ( { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x } } \right )'\,dx } $ $ \Rightarrow \ \int { \left ( { 2x+3 } \right ){ \rm{ d } }x= }\frac { f\left ( { x } \right ) } { x } $ $ \Rightarrow \ \frac { f\left ( { x } \right ) } { x }=x ^ { 2 } +3x+C $ $ f\left ( { 1 } \right )\ =4\Leftrightarrow 4=4+C\Leftrightarrow C=0 $ .
Do đó: $ \frac { f\left ( { x } \right ) } { x }=x ^ { 2 } +3x\Rightarrow f\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } $ .
Vậy $ f\left ( { 2 } \right )=20 $ .
Do đó: $ \frac { f\left ( { x } \right ) } { x }=x ^ { 2 } +3x\Rightarrow f\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } $ .
Vậy $ f\left ( { 2 } \right )=20 $ .